地球上两点球面距离公式

提出问题

相关预备知识

例题

地球上两点球面距离公式

=R·arc cos[cosβ1cosβ2cos（α1-α2）+sinβ1sinβ2] （I）

上述公式推导中只需写出A，B两点的球面坐标，运用向量的夹角公式、弧长公式就能得出结论，简单明了，易于理解，公式特征明显.从公式的推导中我们体会到坐标法在解决立几问题的不凡表现。

由公式（I）知，求地球上两点的球面距离，不需求弦AB，只需两点的经纬度即可。

公式对求地球上任意两点球面距离都适用,特别地，A、B两点的经度或纬度相同时，有：

1、β1=β2=β，则球面距离公式为：

=R·arcos[cosβcos（α1-α2）+sinβ] （II）

2、α1=α2=α，则球面距离公式为：

=R·arcos（cosβ1cosβ2+sinβ1sinβ2）=R·arcoscos（β1-β2） （III）

例1、 北纬45º的纬线上，A、B两点的球面距离是 R，A在东经20º，求B点的位置。

分析：α1=20º，β1=β2=45º，由公式（II）得：

R= R·arcos[cos45ºcos（20º-α2）+sin45º]

cos = cos（20º-α2）+

∴cos（20º-α2）=0, 20º-α2=±90º即：α2=110º或α2=-70º

所以B点在北纬45º，东经110º或西经70º

提出问题

已知球面的两点，为了方便起见，以经纬度来唯一标识点的位置（相关概念请参照2.相关预备知识），要求计算出它们的球面距离。

相关预备知识

这儿提到的预备知识是地球的相关知识，如形状和大小、纬度和经度等相关概念。

（1）形状和大小：

地球形状是一个两极部位略扁的不规则的球体。地球的平均半径为6371千米，赤道半径6378千米，极半径6357千米。赤道周长约为4万千米。

（2）纬线和纬度、经线和经度

① 纬线：纬线都是圆，也称为纬线圈，长度不等。赤道最长，由赤道向两极逐渐缩短，最后成一点。纬线指示东西方向。

② 纬度：赤道是零度纬线。赤道以北的纬度，叫北纬，用“N”作代号；赤道以南的纬度叫南纬，用“S”作代号。北纬、南纬各有90°。

③ 经线：也叫子午线。经线是半圆，所有经线长相等。经线指示南北方向。

④ 经度：零度经线叫做本初子午线。从本初子午线向东、向西各分作180度，以东的180°属于东经，用“E”作代号；以西的180°属于西经，用“W”作代号。

例题

东西180°经线合为一条经线。

用20°W和160°E的经线圈，将地球分为东、西两个半球。

如上图，先假设球的半径为R，所给定的2点为A，B两点，先假设A在北半球，B在南半球。这只是其中的一种情况，至于其它的情况可以同样的方法计算出，仅仅是大同小异而已。当然，还有特殊情况也不能忘了哦。

假设球心为点O，那么最后得到的∠AOB的弧度乘以球的半径R即为所求的球面距离。

设经过球的南极和北极的极点的直线为l，分别过点B、A作l的垂线，设垂点分别为D、C。

过点作线BC的平行线，过B作CD的平行线，这两条平行线必定相交，设交点为E，容易证明BDCE是一个矩形。

由于A、B点的经纬度已知，所以∠OBD和∠OAC也已知，设分别为β，α，由于半径R已知，所以|BD| = R * cosβ，|AC| = R * cosα，|OD| = R * sinβ，|OC| = R * sinα。

由于点A、B的经度已知，所以不难求出∠ACE的值。所以三角形ACE中不难用余弦定理求出|AE|的值。

在直角三角形ABE中，容易求出AB的值。此时三角形AOB三条边都已知，所以∠AOB也可以用余弦定理求出来，这样AB的球面距离也迎刃而解了。