切线法又称为牛顿法,是一种一般情况下具有二阶收敛速度的非线性方程的数值解法.具体方法如下:

设x*是方程f(x)=0的根,又x0为x*附近的一个值,将f(x)在x0附近做泰勒展开:

f(x)=f(x0)+(x-x0)f'(x0)+1/2(x-x0)²f''(ξ)

其中ξ在x和x0之间

令x=x*,则:

0=f(x*)=f(x0)+(x*-x0)f'(x0)+1/2(x*-x0)²f''(ξ)

去掉x*-x0的二次项得到:

f(x0)+x*f'(x0)-x0f'(x0)≈0

即x*≈x0-f(x0)/f'(x0)

令x1=x0-f(x0)/f'(x0)

并由此构成一个递推式x[k+1]=x[k]-f(x[k])/f'(x[k])([]表示下标)

可以证明,当f(x)∈C[a,b]且满足以下条件时,由以上递推式产生的序列最后收敛到f(x)=0在[a,b]上的唯一根

(1)f(a)f(b)<0

(2)f'(x)≠0,(x∈[a,b])

(3)f''(x)在[a,b]上恒正或恒负

(4)初值x0∈[a,b]应满足f(x0)f''(x0)>0

计算实例:

1.求解f(x)=x-cosx=0的实根

由零点定理知f(x)=0在(0,π/2)内有实根

f'(x)=1+sinx,由迭代公式有:

x[n+1]=x[n]-(x[n]-cosx[n])/(1+sinx[n])

取x0=π/4得到:

x1=0.73936133

x2=0.739085178

x3=0.739085133

x4=0.739085133

所以x=0.739085133.....

2.任意数开n次方

为了说明的方便,在此就常见的开3次方作较详细的说明,对于其他的可以类比计算

设x=&sup3;√A则x&sup3;=A

所以x&sup3;-A=0

采用递推公式x[n+1]=x[n]-(x[n]&sup3;-A)/(3x[n]&sup2;)([]表示下标)即可求出&sup3;√A的任意精度近似值.初值x[0]一般取与&sup3;√A接近的整数.

举例求&sup3;√28,取x[0]=3,迭代结果如下:

x[1]=3.037037037037037

x[2]=3.036589037977101

x[3]=3.036588971875664

x[4]=3.036588971875663

x[5]=3.036588971875663

从上面可以看出,只要迭代4次即可求出15位精度的近似值