概念切空间：tangent space

切空间是在某一点所有的切向量组成的线性空间。向量（切向量）存在多种定义。直观的讲，如果所研究的流形是一个三维空间中的曲面，则在每一点的切向量，就是和该曲面相切的向量，切空间就是和该曲面相切的平面。通常情形下，因为所有流形可以嵌入欧几里得空间，切空间也可以理解为在该点和流形相切的欧几里得空间的仿射子空间。切空间更好的定义不依赖于这种嵌入，例如，切向量可以定义为通过该点的曲线的等价类，或者是对光滑函数在该点的在某个方向上的求导。但所有这些定义都是等价的。

设M是可微的流形，p是M上一点， p处所有切向量全体张成的线性空间称为M在p处的切空间， 记为T_p(M). 如果p是光滑点，则T_p(M)的维数就是流形M的维数。

图片引自维基百科