恰当方程

exact equation

一种微分方程，它可以直接解出而不需要用到这学科的任何特殊技巧。单变量的一阶微分方程称为恰当方程或恰当微分方程，如果它是简单微分的结果。方程P(x,y)y'+Q(x,y)=0〔或者等价地P(x,y)dy+Q(x,y)dx=0〕是恰当方程，如果Px(x,y)=Qy(x,y)。这时，存在函数R(x,y)，它对x的偏微商为P，对y的偏微商为Q，结果方程R(x,y)=c(c为常数)将定义隐函数y，它满足原来的微分方程。

例如，在方程(x2+2y)y'+2xy+1=0中，P=x2+2y对x的偏微商是2x，而Q=2xy+1对y的偏微商也是2x，函数R=yx2+x+y2满足条件Rx=P与Ry=Q，从而由yx2+x+y2=c所定义的隐函数是原方程的解。有时一个方程不是恰当的，但可以用一个适当的函数乘每一项使它成为恰当的，这个适当的函数称为一个积分因子，通常它由1/(Px±Qy)给出。

例如，方程3y+2xy'=0用1/5xy去乘，变成3/x+2y'/y=0，它是方程3ln x+2ln y=c的直接微分的结果。这方程可以写成x3y2=c，它定义的隐函数满足原来的微分方程。高阶方程也可以称为恰当方程，如果它是一个较低阶的方程微分的结果。例如，二阶方程p(x)y″+q(x)y'+r(x)y=0是恰当的，假如存在一阶表达式p(x)y'+s(x)y，使它的微分恰好等于给定的方程的左方。因此这个方程是恰当的，当且仅当p″-q'+r=0，这时上面的s等于q-p'。如果方程不是恰当的，可能存在z(x)(也称为积分因子)，使得方程乘以z后变成恰当的。