概 述

公 式

推 导

概 述

坡印廷定理，英文表示Poynting theorem，是1884年约翰·坡印亭（John Poynting）提出的关于电磁场能量守恒的定理。他认为电磁场中的电场强度E与磁场强度H叉乘所得的矢量,即E×H=S，代表电磁场能流密度，表示一个与垂直通过单位面积的功率相关的矢量。人们称这个矢量S为坡印廷矢量。坡印廷定理表明，在电磁场中的任意闭合面上，坡印廷矢量的外法向分量的闭面积分，等于闭合面所包围的体积中所储存的电场能和磁场能的时间减少率减去容积中转化为热能的电能耗散率。

公 式

坡印廷定理的微分形式参见公式（1），式中S是坡印廷矢量，表示能量的流动；J是电流密度；E是电场强度。能量密度u的表达式参见公式（2），式中ε0是真空电导率，μ0是真空磁导率。由于电场不做功，（1）式的右端便给出了电磁场每秒·立方米所做的总功的负值。

坡印廷定理的积分形式参见式（3）,dV是包围着体积V的曲面。

在工程领域，该定理通常写成将能量密度u展开的形式，参见公式（4），这与流体力学的连续性方程相似。

推 导

坡印廷定理是根据麦克斯韦方程组（包含法拉第电磁感应定律及改进的安培定律等）推导出来的。

首先考虑法拉第电磁感应定律（公式5），对其两边取B的点积得公式6；然后利用改进的安培定律（公式7），对其两边取与E的点积，得公式8。然后将等式（8）减去（6）并将恒等式（9）带入，得到等式（10）。由于坡印廷矢量S定义为公式（11），带入（10）化简就可以得到等式（4）。这就推导出了表征电磁能量守恒关系的坡印廷定理。