平面解析几何

一 直角坐标

二 曲线与方程

三 直线

四 圆

五 椭圆

六 双曲线

七 抛物线

八 坐标变换·二次曲线的一般理论

九 参数方程(定义 应用)

平面解析几何

平面解析几何包含以下几部分

一 直角坐标

1.1 有向线段

1.2 直线上的点的直角坐标

1.3 几个基本公式

1.4 平面上的点的直角坐标

1.5 射影的基本原理

1.6 几个基本公式

二 曲线与方程

2.1 曲线的直角坐标方程的定义

2.2 已知曲线，求它的方程

2.3 已知曲线的方程，描绘曲线

2.4 曲线的交点

三 直线

3.1 直线的倾斜角和斜率

3.2 直线的方程

Y=kx+b

3.3 直线到点的有向距离

3.4 二元一次不等式表示的平面区域

3.5 两条直线的相关位置

3.6 二元二方程表示两条直线的条件

3.7 三条直线的相关位置

3.8 直线系

四 圆

4.1 圆的定义

4.2 圆的方程

4.3 点和圆的相关位置

4.4 圆的切线

4.5 点关于圆的切点弦与极线

4.6 共轴圆系

4.7 平面上的反演变换

圆的基本知识

圆

圆的定义

几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。

轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。

集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

概括

把一个圆按一条直线对折过去，并且完全重合，展开再换个方向对折，折出后，这些折痕相交的一个点，叫做圆心，用字母O表示。连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母d表示。圆心决定圆的位置，半径和直径决定圆的大小。在同一个圆或等圆中，半径都相等，直径也都相等，直径是半径的2倍，半径是直径的1/2。

用字母表示是：d=2r或r=d/2

圆的相关量

圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率，它是一个无限不循环的小数通常用π表示，π=3.1415926535...，在实际应用中我们只取它的近似值，即π≈3.14（在奥数中一般π只取3、3.1416或3.14159）

圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)。圆中最长的弦为直径(diameter)。

圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

内心和外心：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。

扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径称为圆锥的母线。

【圆和圆的相关量字母表示方法】

圆—⊙ 半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母） 弧—⌒ 直径—d

扇形弧长/圆锥母线—l 周长—C 面积—S

圆和其他图形的位置关系

圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO>r；P在⊙O上，PO=r；P在⊙O内，0≤PO<r。

直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO>r；AB与⊙O相切，PO=r；AB与⊙O相交，0≤PO<r。

两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P>R+r；外切P=R+r；相交R-r圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。　如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理

①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；

②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）

④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）

⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。

（5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

（6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

（7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

（8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

（9）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

有关切线的性质和定理

圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：（1）经过切点垂直于过切点的半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

〖有关圆的计算公式〗

1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr^2; 3.扇形弧长l=nπr/180

4.扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2(l为扇形的弧长）5.圆锥侧面积S=πrl 6.圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长)

切割线定理 圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A B两点 ， 则有pC^2=pA·pB

割线定理 与切割线定理相似 两条割线交于p点，割线m交圆于A1 B1两点，割线n交圆于A2 B2两点

则pA1·pB1=pA2·pB2

圆的解析几何性质和定理

圆的解析几何方程

圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F>0）。其中和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。该圆圆心坐标为（-D/2,-E/2)，半径r=0.5√D^2+E^2-4F。

圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数)

圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0

圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆 x^2+y^2=r^2上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0*x+b0*y=r^2

在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r^2

圆与直线的位置关系判断

平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：

如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：

当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；

当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；

半径r，直径d

在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F

=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)

其实只要保证X方Y方前系数都是1

就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)

这可以作为一个结论运用的

且r=根号（圆心坐标的平方和-F）

圆知识点总结

定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

（2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。

圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心

（2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。

（3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。

（4） 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

注：圆心一般用字母O表示

直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。直径一般用字母d表示。

半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。半径一般用字母r表示。

圆的直径和半径都有无数条。圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=d/2。

圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。

圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。

直径所对的圆周角是直角。90°的圆周角所对的弦是直径。

圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。πr&sup2;，用字母S表示。

一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

周长计算公式

1.、已知直径：C=πd

2、已知半径：C=2πr

3、已知周长：D=c/π

4、圆周长的一半:1/2周长(曲线)

5、半圆的周长：1/2周长+直径（π÷2+1）

面积计算公式：

1、已知半径：S=πr&sup2;

2、已知直径：S=π(d/2)&sup2;;

3、已知周长：S=π(c/2π)&sup2;;

五 椭圆

5.1 椭圆的定义

平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.

第二定义：

5.2 用平面截直圆锥面可以得到椭圆

5.3 椭圆的标准方程

5.4 椭圆的基本性质及有关概念

5.5 点和椭圆的相关位置

5.6 椭圆的切线与法线

5.7 点关于椭圆的切点弦与极线

5.8 椭圆的面积

六 双曲线

6.1 双曲线的定义

6.2 用平面截直圆锥面可以得到双曲线

6.3 双曲线的标准方程

6.4 双曲线的基本性质及有关概念

6.5 等轴双曲线

6.6 共轭双曲线

6.7 点和双曲线的相关位置

6.8 双曲线的切线与法线

6.9 点关于双曲线的切点弦与极线

七 抛物线

7.1 抛物线的定义

7.2 用平面截直圆锥面可以得到抛物线

7.3 抛物线的标准方程

7.4 抛物线的基本性质及有关概念

7.5 点和抛物线的相关位置

7.6 抛物线的切线与法线

7.7 点关于抛物线的切点弦与极线

7.8 抛物线弓形的面积

八 坐标变换·二次曲线的一般理论

8.1 坐标变换的概念

8.2 坐标轴的平移

8.3 利用平移化简曲线方程

8.4 圆锥曲线的更一般的标准方程

8.5 坐标轴的旋转

8.6 坐标变换的一般公式

8.7 曲线的分类

8.8 二次曲线在直角坐标变换下的不变量

8.9 二元二次方程的曲线

8.10 二次曲线方程的化简

8.11 确定一条二次曲线的条件

8.12 二次曲线系

九 参数方程

定义

在给定的平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x=f(t),y=φ(t)——(1)；且对于t的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点m(x，y)都在这条曲线上，那么方程组(1)称为这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数称为参变数，简称参数。类似地，也有曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t)。(2)

圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ (θ属于[0，2π） ) (a,b)为圆心坐标 r为圆半径 θ为参数 (x,y)为经过点的坐标

椭圆的参数方程 x=a cosθ y=b sinθ (θ属于[0，2π） ) a为长半轴 长 b为短半轴长 θ为参数

双曲线的参数方程 x=a secθ (正割) y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数

抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数

直线的参数方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina , x', y'和a表示直线经过(x',y'),且倾斜角为a,t为参数.

或者x=x'+ut， y=y'+vt (t属于R) x', y'直线经过定点(x',y'),u，v表示直线的方向 向量d=（u，v）

应用

在柯西中值定理的证明中，也运用到了参数方程。 柯西中值定理 如果函数f(x)及F(x)满足： (1)在闭区间[a，b]上连续； (2)在开区间(a，b)内可导； (3)对任一x∈(a，b)，F'(x)≠0， 那么在(a，b)内至少有一点ζ，使等式 [f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ζ)/F'(ζ)成立。 柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。