公式介绍

证明方法(证法一 证法二 证法三 证法四)

公式介绍

平方和公式n(n+1)(2n+1)/6

即1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (注：n^2=n的平方)

证明方法

证法一

（归纳猜想法）：

1、N=1时，1=1（1+1）（2×1+1）/6=1

2、N=2时，1+4=2（2+1）（2×2+1）/6=5

3、设N=x时，公式成立，即1+4+9+…+x2=x(x+1)(2x+1)/6

则当N=x+1时，

1+4+9+…+x2+（x+1）2=x(x+1)(2x+1)/6+（x+1）2

=（x+1）[2（x2）+x+6（x+1）]/6

=（x+1）[2（x2）+7x+6]/6

=（x+1）（2x+3）（x+2）/6

=（x+1）[（x+1）+1][2（x+1）+1]/6

也满足公式

4、综上所述，平方和公式1^2+2^2+3^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6成立，得证。

证法二

(利用恒等式(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1） ：

(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,

n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1

..............................

3^3-2^3=3*(2^2)+3*2+1

2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1.

把这n个等式两端分别相加，得：

(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,

由于1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

代入上式得：

n^3+3n^2+3n=3(1^2+2^2+3^2+....+n^2)+3(n+1)n/2+n

整理后得：

1^2+2^2+3^2+....+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

a^2+b^2=a(a+b)-b(a-b)

证法三

（见下图）：

证法四

（排列组合法，见下图）：