1 流行歌曲名

2 圆锥曲线之一

词 小寒

曲 蔡健雅

歌手 蔡健雅

专辑 若你碰到他

歌词

我确实说 我这样说 我不在乎结果

我对你说 我有把握 成功例子好多

人们虚假又造作 总爱得不温不火

我们用真心就不会有差错

我没想过我会难过 你竟然离开我

爱沿着抛物线 离幸福 总降落得差一点

流着血心跳却不曾被心痛削灭 真真切切

青春的抛物线 把未来始于相遇的地点

至高后才了解 世上月圆月缺只是错觉

我好想说 我只想说 我不要这后果

可是你说 相对来说 走开是种解脱

当初亲密的动作 变成当下的闪躲

感情的过程出了什么差错

我没想过我会难过 你终于离开我

爱沿着抛物线 离幸福 总降落得差一点

流着血心跳却不曾被心痛削灭 真真切切

青春的抛物线 把未来始于相遇的地点

至高后才了解 世上月圆月缺只是错觉

爱沿着抛物线 离幸福 总降落得差一点

流着血心跳却不曾被心痛削灭 真真切切

青春的抛物线 把未来始于相遇的地点

至高后才了解 世上月圆月缺只是错觉

至高后才了解 世上月圆月缺只是错觉

只是错觉

抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹。他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。

定义

标准方程(标准方程 特点)

相关参数

解析式求法

光学性质

抛物线方程(焦点准线式（标准方程）)

面积和弧长公式

其他

对称性解题

相关结论

定义解题

◎ 定义

平面内，到一个定点F和不过F的一条定直线l距离相等的点的轨迹(或集合)称之为抛物线。且定点F不在直线上另外 , F 称为“抛物线的焦点”，l 称为“抛物线的准线”。

定义焦点到抛物线的准线的距离为"焦准距",用p表示p>0.

以平行于地面的方向将切割平面插入一个圆锥，可得一个圆，如果倾斜这个平面直至与其一边平行，就可以做一条抛物线。

◎ 标准方程

◎ 标准方程

右开口抛物线：y^2=2px

左开口抛物线:y^2= -2px

上开口抛物线：x^2=2py

下开口抛物线:x^2= -2py

[p为焦准距（p>0）]

◎ 特点

在抛物线y^2=2px中，焦点是(p/2，0），准线的方程是x= -p/2，离心率e=1，范围：x≥0；

在抛物线y^2= -2px 中，焦点是( -p/2，0），准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0；

在抛物线x^2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线的方程是y= -p/2,离心率e=1，范围：y≥0；

在抛物线x^2= -2py中，焦点是（0，-p/2），准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：y≤0；

◎ 相关参数

(对于向右开口的抛物线)

离心率：e=1

焦点:(p/2，0)

准线方程l:x=-p/2

顶点：(0，0)

通径：2P ；定义：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦　定义域（X≥0）

值域（Y∈R)

◎ 解析式求法

以焦点在X轴上为例

知道P（x0，y0)

令所求为y^2=2px

则有y0^2=2px0

∴2p=y0^2/x0

∴抛物线为y^2=(y0^2/x0)x

◎ 光学性质

经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。各种探照灯、汽车灯即利用抛物线（面）的这个性质，让光源处在焦点处以发射出（准）平行光。

对于圆、抛物线、椭圆三种曲线，他们的光学性质有一定的规律性：圆将所有从圆心射出的光线反射回圆心，抛物线反射成平行线，而椭圆将从一个焦点发出的光反射到另一个焦点。

◎ 抛物线方程

◎ 焦点准线式（标准方程）

焦点：F(m,n)

准线：L：ax+by+c=0

方程为：[x^2-2mx+m^2+y^2-2ny+n^2]^1/2=[(ax+by+c)^2/(a^2+b^2)]^1/2

整理得　b^2x^2-2abxy+a^2y^2-2(ac+ma^2+mb^2)x-2(bc+na^2+nb^2)y+(m^2+n^2)(a^2+b^2)-c^2=0

◎ 面积和弧长公式

面积 Area=2ab/3

弧长 Arc length ABC

=√(b^2+16a^2 )/2+b^2/8a ln((4a+√(b^2+16a^2 ))/b)

◎ 其他

抛物线：y = ax^2 + bx + c （a≠0)

就是y等于ax 的平方加上 bx再加上 c

a > 0时开口向上

a < 0时开口向下

c = 0时抛物线经过原点

b = 0时抛物线对称轴为y轴

还有顶点式y = a（x-h）^2 + k

就是y等于a乘以（x-h）的平方+k

h是顶点坐标的x

k是顶点坐标的y

一般用于求最大值与最小值

抛物线标准方程：y^2=2px

它表示抛物线的焦点在x的正半轴上，焦点坐标为(p/2,0) 准线方程为x=-p/2

由于抛物线的焦点可在任意半轴，故共有标准方程y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py

◎ 对称性解题

我们知道，抛物线y = ax^2 + bx + c ( a ≠0 )是轴对称图形，它的对称轴是直线x = - b/ 2a ，它的顶点在对称轴上。解决有关抛物线的问题时，若能巧用抛物线的对称性，则常可以给出简捷的解法。

例1　已知抛物线的对称轴是x =1，抛物线与y轴交于点（0，3），与x轴两交点间的距离为4，求此抛物线的解析式。

分析　设抛物线的解析式为y = ax^2 + bx + c 。若按常规解法，则需要解关于a、b、c的三元一次方程组，变形过程比较繁杂；若巧用抛物线的对称性，解法就简捷了。因为抛物线的对称轴为x =1，与x轴两交点间的距离为4，由抛物线的对称性可知，它与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点。于是可设抛物线的解析式为y = a（x+1）（x-3）。又因为抛物线与y轴交于点（0，3），所以3 = -3a。故a =-1。

∴y = -（x+1）（x-3），即

y = - x^2 + 2x +3。

例2　已知抛物线经过A（-1，2）、B（3，2）两点，其顶点的纵坐标为6，求当x =0时y的值。

分析　要求当x =0时y的值，只要求出抛物线的解析式即可。

由抛物线的对称性可知，A（-1，2）、B（3，2）两点是抛物线上的对称点。由此可知，抛物线的对称轴是x = 1。故抛物线的顶点是（1，6）。于是可设抛物线的解析式为y = a（x-1）2+ 6。因为点（-1，2）在抛物线上，所以4a + 6 = 2。故a = -1。

∴y = -(x-1)^2+ 6，即

y = - x^2 + 2x +5。

∴当x =0时，y = 5。

例3　已知抛物线与x轴两交点A、B间的距离为4，与y轴交于点C，其顶点为（-1，4），求△ABC的面积。

分析　要求△ABC的面积，只要求出点C的坐标即可。为此，需求出抛物线的解析式。由题设可知，抛物线的对称轴是x = -1。由抛物线的对称性可知，A、B两点的坐标分别为（-3，0）、（1，0）。故可设抛物线的解析式为y = a（x+1）^2+ 4[或y = a（x+3）（x-1）]。

∵点（1，0）在抛物线上，

∴4a + 4 = 0。∴a = -1。

∴y = -（x+1）2+ 4，即

y = - x2 - 2x +3。

∴点C的坐标为（0，3）。

∴S△ABC = 1/2×（4×3）= 6。

例4　已知抛物线y = ax2 + bx + c的顶点A的纵坐标是4，与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点，且-1和3是方程ax2 + bx + c =0的两个根，求四边形ABCD的面积。

分析　要求四边形ABCD的面积，求出A、B两点的坐标即可。为此，要求出抛物线的解析式。由题设可知，C、D两点的坐标分别为（-1，0）、（3，0）。由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴是x = 1。故顶点A的坐标是（1，4）。从而可设抛物线的解析式为y = a（x-1）2+ 4[或y = a（x+1）（x-3）]。

∵点（-1，0）在抛物线上，

∴4a + 4 = 0。故a = -1。

∴y = -(x-1)^2+ 4，即

y = - x^2 + 2x +3。

∴点B的坐标为（0，3）。

连结OA ，则S四边形ABCD = S△BOC + S△AOB + S△AOD = 1/2×1×3+1/2×3×1+1/2×3×4=9

◎ 相关结论

过抛物线y^2=2px(p>0)焦点F作倾斜角为θ的直线L,L与抛物线相交于A（x1,y1)，B(x2,y2),有

① x1*x2 = p^2/4 , y1*y2 = —P^2,要在直线过焦点时才能成立

② 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)^2]

③ （1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P

④若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）

⑤焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F距离等于到准线L距离）

⑥弦长公式：AB=√（1+k^2）*│x2-x1│

⑦△=b^2-4ac

⑴△=b^2-4ac>0有两个实数根

⑵△=b^2-4ac=0有两个一样的实数根

⑶△=b^2-4ac<0没实数根

⑧由抛物线焦点到其切线的垂线距离，是焦点到切点的距离，与到顶点距离的比例中项。

⑨标准形式的抛物线在x0，y0点的切线就是：yy0=p(x+x0)

◎ 定义解题

例：已知F是抛物线y^2=4x的焦点，A（3，2）是一个定点，P是抛物线上的动点，求|PA|+|PF|的最小值和此时P的坐标。

解：设抛物线的准线为L，过P作PH⊥L，垂足为H，再过A点作AH’⊥L，垂足为H’，并交抛物线于P’。连结P’F。则：

|PA|+|PF|=|PA|+|PH|≥|AH’|=|P’A|+|P’H|=|P’A|+|P’F|

所以，|PA|+|PF|的最小值是|AH’|，而准线方程x=-1

故|PA|+|PF|的最小值是4，此时，P’的坐标是（1，2）

抛物线的性质　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ([-b/2a ，(4ac-b)/4a ]

当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧； 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,若要b/2a大于0，则a、b要同号

当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,若要b/2a小于0，则a、b要异号

事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ= b∧2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ= b∧2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ= b∧2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= -b±√b－4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b/4a}相反不变

当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)

7.定义域：R

值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b)/4a，+∞）；②[t，+∞）

奇偶性：偶函数

周期性：无

解析式：

①y=ax∧2+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a>0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下；

⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b)/4a）；

⑷Δ=b∧2-4ac,

Δ>0，图象与x轴交于两点：

（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；

Δ=0，图象与x轴交于一点：

（-b/2a，0）；

Δ<0，图象与x轴无交点；

②y=a(x-h)∧2+t[配方式]

此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b)/4a；