帕普斯(Pappus)定理:如图，直线l1上依次有点A,B,C，直线l2上依次有点D,E,F，设AE,BD交于P，AF,DC交于Q，BF,EC交于R，则P,Q,R共线。

证明

记PQ与XC交于U,PQ与AZ交于V,只需证明U,V重合，即PU/QU=PV/QV

由共边比例定理可知，PQ/QU=PXC面积/QXC面积(1),QV/PV=QAZ面积/PAZ面积(2)

而PXC面积=(PXC面积/BXC面积)*BXC面积

=(PX/BX)*BXC面积

=(PX*BXC面积)/(BP+PX)

=(AXY面积*BXC面积)/(ABY面积+AXY面积）

=(AXY面积*BXC面积)/ABXY面积

同理，QXC面积=(BCZ面积*XYC面积)/BCZY面积

QAZ面积=(YZC面积*ABZ面积)/BCZY面积

PAZ面积=(ABX面积*AYZ面积)/ABXY面积

以上四式代入(1)(2),得到

(PU/QU)*(QV/PV)

=(AXY面积/AYZ面积)*(BXC面积/ABX面积)*(YZC面积/XYC面积)*(ABZ面积/BCZ面积)

=(XY/YZ)*(BC/AB)*(YZ/XY)*(AB/BC)

=1

故命题得证。