词条 | 欧拉准则 |
释义 | (Euler Criterion) 两个流动的惯性力和流体动压力成比例,则它们的欧拉数相等,这就是欧拉准则,或称为压力相似准则 目录 1 叙述 2 举例 2.1 例子一:对于给定数,寻找其为二次剩余的模数 2.2 例子二:对指定的质数p,寻找其二次剩余 3 证明 叙述 若p是奇质数且p不能整除d,则: d是模p的二次剩馀当且仅当: d是模p的非二次剩馀当且仅当: 以勒让德符号表示,即为: (d/p)=1 举例 例子一:对于给定数,寻找其为二次剩余的模数 令a = 17。对于怎样的质数p,17是模p的二次剩余呢? 根据判别法里给出的准则,我们可以从小的质数开始检验。 首先测试p = 3。我们有:17(3 − 1)/2 = 171 ≡ 2 (mod 3) ≡ -1 (mod 3),因此17不是模3的二次剩余。 再来测试p = 13。我们有:17(13 − 1)/2 = 176 ≡ 1 (mod 13),因此17是模13的二次剩余。实际上我们有:17 ≡ 4 (mod 13),而22 = 4. 运用同余性质和勒让德符号可以加快检验速度。继续算下去,可以得到: 对于质数p =,(17/p) = +1(也就是说17是模这些质数的二次剩余)。 对于质数p =,(17/p) = -1(也就是说17是模这些质数的二次非剩余)。 例子二:对指定的质数p,寻找其二次剩余 哪些数是模17的二次剩余? 我们可以手工计算: 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 ≡ 8 (mod 17) 62 = 36 ≡ 2 (mod 17) 72 = 49 ≡ 15 (mod 17) 82 = 64 ≡ 13 (mod 17) 于是得到:所有模17的二次剩余的集合是1,2,4,8,9,13,15,16。要注意的是我们只需要算到8,因为9=17-8,9的平方与8的平方模17是同余的:92 = (−8)2 = 82 ≡ 13 (mod 17).(同理不需计算比9大的数)。 但是对于验证一个数是不是模17的二次剩余,就不必将所有模17的二次剩余全部算出。比如说要检验数字3是否是模17的二次剩余,只需要计算3(17 − 1)/2 = 38 ≡ 812 ≡ − 42 ≡ − 1 (mod 17),然后由欧拉准则判定3不是模17的二次剩余。 欧拉准则与高斯引理以及二次互反律有关,并且在定义欧拉-雅可比伪素数(见伪素数)时会用到。 证明 首先,由于p 是一个奇素数,由费马小定理,。但是p − 1是一个偶数,所以有 p 是一个素数,所以 和 中必有一个是p 的倍数。因此模p的余数必然是1或-1。 证明若d是模p的二次剩馀,则 若d是模p的二次剩馀,则存在 ,p跟d,x互质。根据费马小定理得: 证明若,则d是模p的二次剩馀 p 是一个奇素数,所以关于p的原根存在。设a是p的一个原根,则存在使得d = aj。于是 a是p的一个原根,因此a模p的指数是p − 1,于是p − 1整除。这说明j是一个偶数。令,就有(ai)2 = a2i = d。d是模p的二次剩余。 |
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