定义

基本内容

性质

定义

拟凸函数是与拟凹函数相对的概念，定义为：

函数f（x），对定义域S（凸集）上任意两点x1，x2∈S，Θ∈[0，1]，如果有f[Θx1+（1-Θ）x2]≤max{f（x1），f（x2）}，则称函数f（x）是拟凸的。

基本内容

直观的看，函数f（x）是拟凸的表示曲线ACB之间的点都低于B点。显然，如果函数f（x）是凸的，则图形如一个正放的锅，弦在曲线上面，而弦上的点本身满足上述性质，因而一定是拟凸的。代数的证明只要利用两者的定义即得。但反向则不一定成立，如同是单调的函数的凹函数、线性函数、凸函数的图形中，同样满足拟凸函数的定义，即拟凸函数可以是凹函数，也可以是凸函数。

与拟凹函数相对，拟凸函数也有一个等价定义：如果函数f（x）是拟凸的，当且仅当集合S1={x|f（x）≤c}是凸集，我们称集合S1为函数f（x）的下等值集（Lower Contour Set）。

性质

i）如果函数f（x）是凹（凸）的，则f（x）也一定是拟凹（凸）的；反之则不成立；

ii）如果函数f（x）是拟凹（凸）的，则-f（x）一定是拟凸（拟凹）的；

iii）线性函数f（x）既是拟凹的，也是拟凸的；

iv）拟凹函数等价于凸集的上等值集；拟凸函数等价于凸集的下等值集。

另外，值得注意的是，与凹（凸）函数不同，拟凹（凸）函数的非负线性组合不是拟凹（凸）函数。