与多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆。

特殊地，与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形三条角平分线的交点。

三角形一定有内切圆，其他的图形不一定有内切圆，且内切圆圆心定在三角形内部。

其中，三角形内切圆有一定的特性。

在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。

常见辅助线：过圆心作垂直

对于一般的三角形，内切圆半径公式如下：

r=sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)/p]

在直角三角形的内切圆中，有这样两个简便公式：1、两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径。2、两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径。

1、r=(a+b-c)/2（注：s是Rt△的面积，a, b是Rt△的2个直角边，c是斜边）

2、r=ab/ (a+b+c)

扇形内切圆

与扇形⌒AOB的圆弧⌒AB及两条半径OA,OB都相切的圆叫扇形的内切圆 .

内切圆圆心O′在扇形的圆心角AOB的角平分线上,

OO′=R-r(R是扇形半径,r是内切圆半径)

过O′作O′A⊥OA,垂足A,直角三角形OAO′中

∠O′OA=30°,O′A=r,OO′=R-r,

∴r=(R-r)*sin30°,r=1/2(R-r),R=3r

内切圆面积=πr^2,

扇形面积是原来圆面积的60/360=1/6

∴扇形面积=πR^2/6=π(3r)^2/6=3πr^2/2

∴形的内切圆面积与扇形面积的比为πr^2:(3πr^2/2)=2:3

直角三角形的内切圆的半径=二分之一×（直角边+另一直角边－斜边）

内切圆的半径为r=2S÷C，当中S表示三角形的面积，C表示三角形的周长。

内切圆等于外切圆的2分之1

面积与原正方形比为π：4