定义

性质

应用

在数学里面，内积空间就是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积，或标量积，或点积。这个增添的结构允许我们谈论向量的角度和长度。内积空间由欧几里得空间抽象而来，这是泛函分析讨论的课题。

内积空间有时也叫做准希尔伯特空间，因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。

在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词现在已经被淘汰了。在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数/不可数）的欧几里德空间。

定义

下文中的数量域F是实数域或复数域。

域F上的一个内积空间V备有一个正定、非退化以及共轭双线性形式，称作内积（F是实数域时，内积是一个正定、对称、非退化以及双线性形式）：

(·, ·): V×V → F

满足以下公理

1. ⟨v, v⟩ ≥ 0 and ⟨v, v⟩ = 0 当且仅当v = 0,

2. ⟨u, v + w⟩ = ⟨u, v⟩ + ⟨u,w⟩

3. ⟨u, λv⟩ = λ⟨u, v⟩

4. ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩

性质

-Cauchy-Schwarz不等式；

|(x, y)|≦||x||·||y||

应用

-定义长度；

-诱导范数；