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基本信息

详细解释(含义 出处)

◎ 基本信息

【词目】内部

【拼音】nèi bù

【英译】 　[inside;internal;interior]

【基本解释】

里边或围起来的地方或空间;某一范围之内

在工人阶级内部内部电话

◎ 详细解释

◎ 含义

1.指某一范围以内。

2.深层的，而不是表面的。

3.中部。

◎ 出处

1. 指某一范围以内。

鲁迅 《且介亭杂文·忆韦素园君》：“虽是小小的文学团体罢，每当光景艰难时，内部是一定有人起来捣乱的。” 周恩来 《建设与团结》：“现在我们内部还有破坏团结的因素存在，所以团结问题更加重要。”

2. 深层的，而不是表面的。

郭沫若 《北伐途次》二二：“血流得不多，但那内部的出血不用说是很厉害的。” 丁玲 《阿毛姑娘》第二章五：“若果 阿毛 有机会来了解那些她所羡慕的女人的内部生活，从那之中看出人类的浅薄，人类的可怜，也许 阿毛 又非常安于她那能忠实于她的生活的一切操作了。”

3. 中部。

《新唐书·高丽传》：“分五部：曰内部，即 汉 桂娄 部也，亦号黄部。”

集合的内部

举例

内部算子

数学上，集合 S 的内部（又称开核）含有所有直观上“不在 S 的边界上”的 S 的点。S 的内部中的点称为 S 的内点。内点

若 S 为欧几里德空间的子集，则 x 是 S 的内点，若存在以 x 为中心的开球被包含于 S。

这个定义可以推广到度量空间X 的任意子集 S。具体地说，对具有度量 d 的度量空间 X，x 是 S 的内点，若对任意 r > 0，存在 y 属于 S，且 d(x, y) < r。

这个定义也可以推广到拓扑空间，只需要用邻域替代“开球”。 设 S 是拓扑空间 X 的子集，则 x 是 S 的内点，若存在 x 邻域被包含于 S。注意，这个定义并不要求邻域是开的。

◎ 集合的内部

集合 S 的内部是 S 的所有内点组成的集合。S 的内部写作 int(S)、Int(S) 或 S int(S) 是 S 的开子集。

int(S) 是所有包含于 S 的开集的并集。

int(S) 是包含于 S 的最大的开集。

集合 S 是开集，当且仅当S = int(S)。

int(int(S)) = int(S)。（幂等）

若 S 为 T 的子集，则 int(S) 是 int(T) 的子集。

若 A 为开集，则 A 是 S 的子集，当且仅当 A 是 int(S) 的子集。

有时候，上述第二或第三条性质会被作为拓扑内部的定义。

◎ 举例

在任意空间，空集的内部是空集。

对任意空间 X, int(X) = X.

若 X 为实数的欧几里德空间 R，则 int([0, 1]) = (0, 1)。

若 X 为实数的欧几里德空间 R，则有理数集合 Q 的内部是空集。

若 X 为复平面C = R 在任意欧几里德空间，任意有限集合的内部是空集。

在实数集上，除了标准拓扑，还可以使用其他的拓扑结构。

若 X = R，且 R 有下限拓扑，则 int([0, 1]) = [0, 1)。

若考虑 R 中所有集合都是开集的拓扑，则 int([0, 1]) = [0, 1]。

若考虑 R 中只有空集和 R 自身是开集的拓扑，则 int([0, 1]) 是空集。

上述示例中集合的内部取决于背景空间的拓扑。接下来给出的两个示例比较特殊。

在任意离散空间中，由于所有集合都是开集，所以所有集合都等于其内部。

在任意不可分空间X 中，由于只有空集和 X 自身是开集，所以 int(X) = X 且对 X 的所有真子集A，int(A) 是空集。

◎ 内部算子

内部算子

S 还有

S 这里的 X 是包含S 的拓扑空间，反斜杠指示补集。

因此，通过把集合替代为它的补集，闭包算子和库拉托夫斯基闭包公理的抽象理论可以轻易的转换到使用内部算子的语言中。