词条 | 牟合方盖 |
释义 | 球体体积是求积法其中一项须要研究的题目。在二千多年前,希腊数学家阿基米德(Archimedes)已经发现球体体积的公式,而且采用的方法更是使用了积分的概念。在中国则要到南北朝时代才正确地求出球体的体积,而使用的方法称为“牟合方盖”。 中国的数学典籍《九章算术》的“少广”章的廿三及廿四两问中有所谓“开立圆术”,“立圆”的意思是“球体”,古称“丸”,而“开立圆术”即求已知体积的球体的直径的方法。其中廿四问为: “又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几何? 开立圆术曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即丸径。” 从中可知,在《九章算术》内由球体体积求球体直径,是把球体体积先乘16再除以9,然后再把得数开立方根求出,换言之 球体体积=(9 x 直径3)/16 以现代的理解,这公式当然是错的,但以古时而言也不失为一个简单的公式来求出近似值。 相关研究当然这个结果对数学家而言是极之不满的,其中为《九章算术》作注的古代中国数学家刘徽便对这公式有所怀疑: “以周三径一为圆率,则圆幂伤少;令圆囷为方率,则丸积伤多。互相通补,是以九与十六之率,偶与实相近,而丸犹伤多耳。” 即是说,用π≒3来计算圆面积时,则较实际面积要少;若按π:4的比率来计算球和外切直圆柱的体积时,则球的体积又较实际多了一些。然而可以互相通补,但按9:16的比率来计算球和外切立方体体积时,则球的体积较实际多一些。因此,刘徽创造了一个独特的立体几何图形,而希望用这个图形以求出球体体积公式,称之为“牟合方盖”。 所谓“牟合方盖”是当一正立方体用圆规从纵横两侧面作内切圆柱体时,两圆柱体的公共部分。刘徽在他的注中对“牟合方盖”有以下的描述: “取立方?八枚,皆令立方一寸,积之为立方二寸。规之为圆囷,径二寸,高二寸。又复横规之,则其形有似牟合方盖矣。八?皆似阳马,圆然也。按合盖者,方率也。丸其中,即圆率也。” 刘徽理论其实刘徽是希望构作一个立体图形,它的每一个横切面皆是正方形,而且会外接于球体在同一高度的横切面的圆形,而这个图形就是“牟合方盖”,因为刘徽只知道一个圆及它的外接正方形的面积比为π:4,他希望可以用“牟合方盖”来证实《九章算术》的公式有错误。当然他也希望由这方面入手求球体体积的正确公式,因为他知道“牟合方盖”的体积跟内接球体体积的比为4:3,只要有方法找出“牟合方盖”的体积便可,可惜,刘徽始终不能解决,他只可以指出解决方法是计算出“外?”的体积,但由于“外?”的形状复杂,所以没有成功,无奈地只好留待有能之士图谋解决的方法: “观立方之内,合盖之外,虽衰杀有渐,而多少不掩。判合总结,方圆相缠,浓纤诡互,不可等正。欲陋形措意,惧失正理。敢不阙疑,以俟能言者。” 而贤能之士要在刘徽后二百多年才出现,便是中国伟大数学家袓冲之及他的儿子祖暅,他们承袭了刘徽的想法,利用“牟合方盖”彻底地解决了球体体积公式的问题。 祖冲之父子主要发现是到三个“外?”的计算方法。他们先考虑一个由八个边长为r的正立方体组成的大正立方体,然后用制作“牟合方盖”的方法把这大正立方体分割,再取其中一个小正立方体部分作分析,分割的结果将跟右图所示的相同,白色部分称为“小牟合方盖”,它的体积为“牟合方盖”的八分之一,而紫红、黄和青色的部分便是三个“外?”。 祖冲之父子考虑这个小立方体的横切面。设由小立方体的底至横切面高度为h,三个“外?”的横切面面积的总和为S及小牟合方盖的横切面边长为a,因此根据“勾股定理”有 a2=r2-h2 另外,因为 S=r2-a2 所以 S=r2-(r2-h2)=h2 于所有的h来说,这个结果也是不变的。祖氏父子便由此出发,他们取一个底方每边之长和高都等于r的方锥,倒过来立着,与三个“外?”的体积的和进行比较。设由方锥顶点至方锥截面的高度为h,不难发现对于任何的h,方锥截面面积也必为h2。换句话说,虽然方锥跟三个“外?”的形状不同,但因它们的体积都可以用截面面积和高度来计算,而在等高处的截面面积总是相等的,所以它们的体积也就不能不是相等的了,所以祖氏云: “缘幂势既同,则积不容异。” 所以 外?体积之和=方锥体积=小立方体体积/3=r3/3 即 小牟合方盖体积= 2r3/3 牟合方盖体积=16r3/3 因此 球体体积=(π/4)(16r3/3)=4πr3/3 这条公式也就是正正式式的球体体积公式。 相关评价这球体体积公式比欧洲阿基米德的,虽然是迟了出现,但由方法以至推导也是由刘徽及祖氏父子自行创出,也可算是一项杰出的成就。当中用了“缘幂势既同,则积不容异。”即“等高处截面面积相等,则二立体的体积相等。”的定理,现在一般认为是由意大利数学家卡瓦列利(Cavalieri)首先引用,称为卡瓦列利原理(Principle of Cavalieri),但事实上祖氏父子比他早一千年就用到这个原理,所以称之为“祖氏原理”可能会较适合。 |
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