词条 | 魔术方阵 |
释义 | 魔术方阵简单的说,就是将连续整数1,2,3....,n 的数字,依特别之顺序,排在方阵里.使每一行的数,每一列的数或对角线位置的数各自相加,所得的和皆均为相同.魔术方阵别称魔术方阵(亦称魔方阵)是一种已流传千年的数字排列,不管是中西方对这奇妙的阵列都有所研究.魔术方阵其实是由西方"MAGIC QUA RE"翻译过来的,当然,在东方也有不同的别称.在中国我们称之为"幻方",我国古代就有"纵横图"的称呼.而日本则称之为"方阵".魔术方阵历史根据[论说]和[星子]中的记载,传说大约在三千年前,夏禹治水时,在洛水里出现了一只大乌龟,龟背上刻有奇特的图案,人们将它取名为[洛书]. 这个方阵具有一个奇特的性质,那就是每一行,每一列以及对角线上的数字和都是15.祖先们认为"洛书"是一个吉祥的象征,所以有许多人都将它画在纸上携带,认为有保平安的效果.在别的东方地区也有幻方的记载,但多数也蒙上神秘的色彩.较早期的一个,是刻在印度一所庙宇石上,年代大约是十一世纪,是四阶幻方.古代印度人十分崇拜这种幻方,至今从古神殿的遗址,墓碑上常常还可以发现四阶幻方的遗迹.至今还有许多印度人把[洛书]的图案佩在胸前当作"护身符".据中国古代数学的书.[数术记遗]中记录了一个三行三列的纵横图.当时称为[九官]. 由于洛书共有九个数字,所以汉代的徐岳把它称为"九宫算"(或九宫) 汉代之后又有很大的扩展,成为纵横均为n行的纵横图.而公元十世纪宋朝时,有人将[九宫]和[易系辞]中的[洛出书]附会起来,合称为[洛书].西元1275年,中国数学家杨挥在"古摘奇算法"中更进一步模仿洛书,计算出了五五幻方,六六幻方....九九幻方及百子幻方(十阶幻方) 等. 魔术方阵的个数由排列组合计算, 可以发现,由整数所组成的n阶方阵的数目 (n2)!种,成阶层式的增加, 所以我们也预测幻方的数目应是随着阶数的增加而大幅增加. 若由已知条件和未知变数来看, 在三阶以上的方阵,未知数的数目都大于已知条件,而且条件增加的速度远比未知数数目增加得慢,若不发生矛盾的现象,解应该是随阶数而增加的. 阶方阵排列组合数目幻方数目11种1个224种0个3362880种8个420922789888000种7040个5371993326789901217467999448150835200000000种2202441792个由幻方的旋转,我们可以得到四种变化: 0 度 90度 180度 270度 四种旋转 若将幻方整个翻转过来,又可以的到另外的四个不同的幻方,可知幻方的数目必为8的倍数. a.顺时针旋转270度,180度,90度 b.依照铅直,水平对称轴镜射 c.依照左上→右下,右上→左下对角线镜射总共有八种 我们可以以3阶方阵为例,可求出其他7个幻方: 原方阵81635749290度438951276180度294753619270度672159934铅直618753294水平492357816左上右下834159672右上左下276951438魔术方阵的个数资料计算各种不同阶数的正规幻方的总数,是一个非常困难的问题,在过去的200多年中,许多人就曾经为这个问题大伤脑筋,但是所得的成果并不多.Frenicle de Bessy(1693年)在一本著作中提出三阶魔方阵只有8个,四阶魔方阵有7040个,后来许多人也验证无误.但五阶魔方阵的总数则一直等到1973年才由 Richard Schroeppel 利用电子计算机花了 100小时左右的时间才求出来,除此之外,六阶以及六阶以上的正规幻方总数都尚未求出来.魔术方阵公式一个n阶幻方中,因为每行的数字相等= 数字和=各行数字和(魔数)×行数n (n +1) = m × n ---> M = n(n +1) 因此我们可以利用这个公式来计算魔术方阵的魔术:三阶幻方的魔数为 15四阶幻方的魔数为 34五阶幻方的魔数为 65 魔术方阵制作歌诀三阶幻方(九宫数):[九子斜排,上下对异,左右相更,四维挺出, 戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足.] 四阶幻方(阴图):[易换术曰:以十六子,依次递作四行排列,先以外四子对换,一换十六,四换十三,以四内角对换,六换十一,七换十, 横直上下斜角,皆三十四数,对换止可施之于小.] 魔术方阵的个数由排列组合计算, 可以发现,由整数所组成的n阶方阵的数目 (n2)!种,成阶层式的增加, 所以我们也预测幻方的数目应是随着阶数的增加而大幅增加. 若由已知条件和未知变数来看, 在三阶以上的方阵,未知数的数目都大于已知条件,而且条件增加的速度远比未知数数目增加得慢,若不发生矛盾的现象,解应该是随阶数而增加的. 阶方阵排列组合数目幻方数目11种1个224种0个3362880种8个420922789888000种7040个5371993326789901217467999448150835200000000种2202441792个由幻方的旋转,我们可以得到四种变化: 0 度 90度 180度 270度 四种旋转 若将幻方整个翻转过来,又可以的到另外的四个不同的幻方,可知幻方的数目必为8的倍数. a.顺时针旋转270度,180度,90度 b.依照铅直,水平对称轴镜射 c.依照左上→右下,右上→左下对角线镜射总共有八种 我们可以以3阶方阵为例,可求出其他7个幻方: 原方阵81635749290度438951276180度294753619270度672159934铅直618753294水平492357816左上右下834159672右上左下276951438魔术方阵的建构方法魔术方阵要满足各行各列各对角线之和相等的条件,是否有简单的方法可以达到这个目标呢 以下我们就来探讨一下有关魔术方阵建构的问题.三阶幻方的建构方法:一开始我们由三阶的魔术方阵做起,魔术方阵是一个有趣的数学问题,不过如果我们严肃的看他,其实魔术方阵就是一个满足许多简单数字和条件的一种方阵.假使我们将一个三阶的魔术方阵用八个等式表现出来,即:a + b + c = 15 d + e + f = 15 g + h + i = 15a + d + g = 15 b + e + h =15 c + f + i = 15a + e + i = 15 c + e + g = 15abcdefghi解这有九个变数的联立方程式, 我们可以得到下面的结果.由旁边的结果我们可以用讨论的方式得到魔术方阵a10-hh+5-ah+10-2a52a-h5-h+ah10-a2k+110-hh+4-2kh+8-4a54k+2-h6-h+2kh9-2k1. 若 a = 2k+1 (奇数)若h为偶数,则10-h, h+4-2k, h+8-4k, 4k+2-h, 6-h+2k,h 这几个数都是偶数.有六个偶数出现,不过因为三阶魔术方阵是由1~9这几.个数字所构成的->与前提相矛盾. b.若h为奇数,则所有的数字都是奇数->与前提矛盾.c.由以上可知若a为奇数, 不可能造出魔术方阵.2. 若 a = 2,4,6,8 则刚好都可以各造出两个方阵..2k+110-hh+4-2kh+8-4a54k+2-h6-h+2kh9-2k四阶幻方的建构方法接下来我们来探讨一下四阶方阵的建构方法.首先我们观察一下变数以及已之条件的变化情形.四阶幻方的已之条件有10条(各行各列各对角线之和等于魔数),但是四阶幻方的变数却有16个之多.由此可知我们如果要利用像三阶幻方那样的"暴力"解法的话是行不通的.因此我们转为利用分析的方式来一步一步的建构四阶魔术方阵.首先我们先将魔术方阵填成如下图的模样:1234567817-817-717-617-517-417-317-217-1可以看出两对角线已经是相等而且等于魔数,所以将对角线上的数字固定.由直列和的关系可以将方阵加以调整.34-6 34-2 34+2 34+6 <=各直列之数字和 ↓可得到下图的结果1234876517-517-617-717-817-417-317-217-134-2434-834+834+24由横行和的关系可以将方阵加以调整.使每横行的和都为魔数.(34)(有一种对称的感觉^^)↓如此一来我们的方阵就越来越接近魔术方阵了.117-317-2417-57617-8817-617-7517-42317-111415412769811105132316就这样利用一个满直观的方法得到了一个魔术方阵. Matlab提供的矩阵生成函数中有生成魔术方阵的函数,其命令格式为magic(n),其中n为输入的参数为整型量。 |
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