摩莱(Morley)三角形:

在已知△ABC三内角的三等分线中,分别与BC,CA,AB相邻的每两线相交于点D,E,F,则三角形DFE是正三角形,这个正三角形称为摩莱三角形.

证明

AE CE交E

BD CD交D

AF BF交F 记A=3α，B=3β，C=3γ，AE=m，AF=n，△ABC的三边长为a、b、c．

由于3α+3β+3γ=180°．

所以α+β+γ=60°．α+β=60°-γ

而nsin(α+β)=csinβ

所以n=csinβ/sin(α+β)=csinβ/sin(60-γ)

类似地m=bsinγ/sin(60-β)

在△ABC中有bsin3γ=csin3β，

从而

m/n

=(sin3β*sinγ*sin(60-γ))/(sin3γ*sinβ*sin(60-β))

=(sin(60+β))/(sin(60+γ))

由于α+β+γ=60°．

所以存在以60°+β，60°+γ和α为内角的三角形，

夹α角的两边之比为 (sin(60+β))/(sin(60+γ))=m/n

EAF与这三角形相似，

从而 ∠AFE=60°+β ∠AEF=60°+γ

同法可证∠BFD=60°+α，

而 ∠AFB=180°-(α+β)

因此 ∠EFA+∠AFB+∠BFD=(60°+β)+(180°-α-β)+(60°+α)=300°

所以∠DFE=60°．

类似地，△DEF的另两个内角也为60°． 因此△DEF是等边三角形．