一.摩根定律

二.摩根定律的应用

三.应用举例

四.德·摩根简介

一.摩根定律

1.设全集为U,其子集为A,B.则

Cu(A∪B)=CuA∩CuB,

Cu(A∩B)=CuA∪CuB,

称为摩根定律.又叫反演律.

摩根定律用文字语言可以简单的叙述为:

两个集合的交集的补集等于它们各自补集的并集;

两个集合的并集的补集等于它们各自补集的交集.

２. 摩根定律的一般形式设全集为U,其子集为Ai, i=1,2,3,…,n.则

Cu(∪Ai)=∩CuAi, i=1,2,3,…,n.

Cu(∩Ai)=∪CuAi, i=1,2,3,…,n.

称为摩根定律.又叫反演律.

二.摩根定律的应用

摩根定律实现了集合运算的汇集,转化,简化以及与逻辑命题的联系.

1.集集合的三大运算于一身,并可以使它们互相转化,尤其是交运算与并运算的转化.

2.可以把“补补交”三次运算，化简为“并补”两种运算等。

3.在逻辑中，复合命题“p且q”，“p或q”的否定完全遵循摩根定律。

(1)非“p且q”非p或非q.理解为非“p且q”是对“p且q”的否定.即不是p,q都真,而是p,q至少一个假.

(２) 非“p或q”非p且非q. 理解为非“p或q”是对“p或q”的否定.即不是p,q都至少一个真,而是p,q都假.

三.应用举例

U={x | x=3n ，x<30,n∈N*}, CuA∩B={6.15}, A∩CuB={3.21} , CuA∩CuB={9，18，24} .求集合A ∩B.

范例解答

如图.

U=｛3,6,9,12,15,18,21,24,27｝，

CuA∩CuB={9，18，24}，

由摩根定律

Cu(A∪B)= {9，18，24}，

∴A∪B={3,6,12,15,21,27}。

又CuA∩B={6.15}，

A∩CuB={3.21}，

∴A∩B={12,27}。

四.德·摩根简介

摘自<互动百科>词条”德·摩根”.

德·摩根　Augustus De Morgan (1806～1871)

德·摩根

19世纪英国数学家、逻辑学家。生于印度，出生后刚 7个月就回到英国。卒于伦敦。他在少年时代就对数学发生浓厚的兴趣，1823年考入剑桥大学三一学院，1827年毕业。1828年后在伦敦的大学学院任数学教授多年。他曾任伦敦数学学会第一届会长。

德·摩根对19世纪数学的发展作出了贡献。他于1838年提出以“数学归纳法”的概念描述以往数学家们曾经使用的证明定理的方法。1842年，他发表了《微积分演算》一文，详尽讨论微积分基本原理和极限定义，并讨论了无穷序列及确定序列收敛的新规则。他曾从事当时称为“形式代数”的研究，其成果有助于对复数的性质给出一个完全的几何解释。

德·摩根的主要成就在逻辑方面，主要逻辑著作是《形式逻辑》（1847）。他在逻辑史上首先提出“论域”的概念，第一次明确用公式表达合取和析取的关系，现代逻辑称之为德·摩根律。

他还最先提出了关于“大多数”的推理。他对逻辑的最主要贡献在于开拓了形式逻辑的新领域，建立了关系逻辑，有的学者称他为“关系逻辑之父”。他对关系的种类和性质作了研究，并使用了一些他自己所创造的符号。

德·摩根提出了一些重要的关系逻辑规律，以及一些推理形式等。

五.参考资料

１.数学奥林匹克训练教程.

２.高中数学基础知识全书.

３.数学手册.