定义

证明

计算

定义

模函数是上半复平面上处处亚纯函数的一类，模形式是模函数的推广。

定义在单位圆（或上半平面）内部且以其周界为自然边界的某种特殊解析函数。解析函数的许多经典理论如整函数理论中的皮卡定理、正规族理论中的一些判定定理，都可借助模函数的性质来证明。

证明

如图1,在z平面中取单位圆│z│<1,在其周界上按反时针向依次任取三点A，B，C,并作一圆弧三角形ABC，其每边均与│z│=1正交，构成一区域D0（图中斜线区）。在w平面中实轴上取定三点α（=0），β（=1），γ（=∞）。由共形映射的黎曼定理，存在一单叶解析函数w =?（z），把D0映到w 的上半平面，并使A，B，C分别映到α，β，у。根据对称性原理，w =?（z）可解析开拓到圆弧三角形Dó中，这里Dó是D0关于AB 弧的对称反演区域（C点反演成圆周│z│=1上另一点C┡），而函数值则取在w 的下半平面，此下半平面与原上半平面沿线段αβ相粘连。同理，w=?（z）又可分别解析开拓到D0的关于CA弧和BC弧的对称圆弧三角形中，其函数值也在w 的下半平面中，它们分别与上半平面沿半直线 γα 和 βγ 相粘连。这样，得到了│z│<1中的一圆弧六边形区域，w =?（z）在其中解析，取值于整个w 平面中如上粘连的一个上半平面和三个下半平面。再以此六边形的各边进行反演，则w=？（z） 又可再次解析开拓到|z|< 1中边数更多的圆弧形区域中（仍在|z|<1内），取值又回到w 的上半平面，并与上面已取得的下半平面分别沿αβ，βу，уα之一相粘连。如此无限继续下去，则w =?（z）就开拓成为整个│z│< 1内的解析函数，其所取之值在w平面上形成一无限层的黎曼曲面。w =?（z）称为模函数。其反函数z=φ（w）是整个w平面除0，1，∞外的多值解析函数，或者可说成是上述黎曼曲面上的单值解析函数。

模函数w =?（z）单值解析于|z|<1内，显然不取值0，1,∞，且当z从单位圆内部以任意方式趋于其周界上一点时，不可能有确定的极限值，因此|z|=1是其自然边界，即它不可能再向|z|=1之外进行解析开拓。

也可用一分式线性变换t=ω（z），|z|<1,把z变到t平面的上半平面，使A,B,C 分别变成实轴的α，b以及с=∞，而D0变成区域墹 0（图2），当D0关于其一边界圆弧作对称反演时，相应地墹 0也关于其相应边作对称反演。

设t=ω（z）的反函数为z=λ（t），则

w =?（z）=?（λ（t））=φ（t）

就把t的上半平面映成w平面的上述黎曼曲面。φ（t）也称为模函数，其性质本质上与？（z）相类似。

如果把构成模函数w=?（z）过程中所作的种种关于圆弧的反演变换记为T1，T2,…，则对于任何Tj，？（z）与？（Tjz）互为共轭。因此，对任何两个Tj,Tk，恒有？（z）=?（TjTkz），即当z经过两次这类反演后，其函数值？（z）不变。如果把偶数个这种反演及其逆作为元素，它们生成一变换群G，则当z经G任一元变换后，函数值？（z）不变。称G为模函数w=?（z）的不变群，也称？（z）为关于群G 的自守函数（见椭圆函数）。

计算

mod（nExp1,nExp2），即是两个数值表达式作除法运算后的余数。那么：两个同号整数求余与你所知的两个正数求余完全一样（即两个负整数与两个正整数的算法一样）。

一、两个异号整数求余

1.函数值符号规律（余数的符号）

mod（负，正）=负

mod（正，负）=正

结论：两个整数求余时，其值的符号为被除数的符号。

2.取值规律

先将两个整数看作是正数，再作除法运算

①能整除时，其值为0

②不能整除时，其值=除数×（整商+1）-被除数

例：mod（9,-8）=-7

即：9除以8的整数商为1，加1后为2；其与除数之积为18；再与被除数之差为7；取除数的符号。所以值为-7。

所以你的MOD（10,-3） 是10除以3的整数商为3，加1后为4，其与除数之积为12；再与被除数之差为2；取除数的符号，所以为-2。

二、两个小数求余

取值规律：被除数-（整商×除数）之后在第一位小数位进行四舍五入。

例：mod（9,1.2）=1

即：9除1.2其整商为7；7与除数1.2之积为8.4；8.4四舍五入之后为8；被除数9与8之差为1。故结果为1。

例：mod（9,2.4）=0

即：9除2.2其整商为4；4与除数2.2这积为8.8；8.8四舍五入之后为9；被除数9与9之差为0。故结果为0。