幂等矩阵概述

幂等矩阵性质

幂等矩阵概述

幂等矩阵（idempotent matrix）定义:若A为方阵，且A^2=A，则A称为幂等矩阵。

等价命题1：若A是幂等矩阵，则与A相似的任意矩阵是幂等矩阵；

等价命题2：若A是幂等矩阵，则A的AH,AT,A*，E-AH，E-AT都是幂等矩阵；

等价命题3：若A是幂等矩阵，则对于任意可逆阵T,T^(-1)·A·T也为幂等矩阵；

等价命题4：若A是幂等矩阵，A的k次幂任是幂等矩阵

（由于数学符号编辑问题，更多等价命题及其证明见扩展阅读1）

由于幂等矩阵所具有的良好性质及其对向量空间的划分，幂等矩阵在可对角化矩阵的分解中具有重要的作用，同时也为空间的投影过程提供了一种工具。

符号说明如下：

AT为矩阵A的转置矩阵；

AH矩阵A的共轭转置矩阵；

A*为矩阵A的伴随矩阵；

E为单位矩阵

幂等矩阵性质

幂等矩阵的主要性质：

1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1；

2.幂等矩阵可对角化；

3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr（A）=rank（A）；

4.可逆的幂等矩阵为E；

5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；

6.幂等矩阵A满足：A（E-A)=（E-A）A=0；

7.幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R（A）；

8.A的核N（A）等于（E-A）的列空间R（E-A）,且N（E-A）=R（A）。　考虑幂等矩阵运算后仍为幂等矩阵的要求，可以给出幂等矩阵的运算：

1）设 A1，A2都是幂等矩阵，则(A1+A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1 = 0，

且有：R(A1+A2) =R (A1) ⊕R (A2)；N(A1+A2) =N (A1)∩N(A2)；

2）设 A1， A2都是幂等矩阵，则(A1-A2) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A1·A2 =A2·A1=A2

且有：R(A1-A2) =R(A1)∩N (A2 )；N (A1 - A2 ) =N (A1 )⊕R (A2 )；

3）设 A1，A2都是幂等矩阵，若A1·A2 =A2·A1，则A1·A2 为幂等矩阵，且有：R (A1·A2 ) =R (A1 ) ∩R (A2 )；N (A

1·A2 ) =N (A1 ) +N (A2 )。