词条 | 蒙日圆 |
释义 | 在椭圆中,任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,它的圆心是椭圆中心,半径等于长短轴平方和的算数平方根,这个圆叫蒙日圆。 证明设椭圆中心为O,焦点是F1,F2.焦点到中心距离为c。PM,PN是椭圆两条切线,且互相垂直。 连OP.作OG垂直于PM,OH垂直于PN.并做F1D垂直于PM,则PM=a 做F1K垂直于OG,记角OF1K=k,则 DG=F1K=c*cosk 由勾股定理,有 OG^2=OD^2-DG^2=a^2-c^2cos^2k 考虑另一焦点F2,做F2E垂直于PN,F2L垂直于OH.仿上得 OH^2=a^2-c^2sin^2k 进而得到 OP^2=OH^2+OG^2 =a^2+(a^2-c^2) =a^2+b^2 所以OP=根号(a^2+b^2) 以上过程中的a,b,分别是长短轴半径。 附:蒙日问题画一个圆,使其与三已知圆正交. |
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