罗尔定理(Rolle 定理)

几何意义

证明过程

罗尔定理(Rolle 定理)

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续（其中a不等于b），在开区间(a,b)上可导，

且f(a)=f(b)，那么至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0。

罗尔定理是以法国数学家罗尔的名字命名的。

几何意义

罗尔定理的三个已知条件的意义：

1.f(x)在[a,b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；

2.f(x)在内(a,b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在；

3.f(a)=f(b)表明曲线的割线（直线AB）平行于x轴

罗尔定理的结论的直几何意义是：在(a,b)内至少能找到一点ξ，使f'(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB，与x轴平行

证明过程

根据 f是闭区间 [a,b] 上连续函数的性质，由极值定理得在 [a,b] 上有最大值（M)和最小值（m）

1.如果M=m，此时f(x)在[a,b]上恒为常数，结论显然成立。

2.如果M>m，假设f 在ξ 处取得最大值，不妨设M≠f(a)(如果设m≠f（a），证法完全类似)，那么必定在开区间（a，b）内有一点ξ使f（ξ）=M。因此，∀x∈[a，b],有f（x）≤f（ξ），由费马引理（fermat引理)可知f'(ξ)=0