在两分法悖论中，芝诺要论证的是：一个正在行走的人永远到达不了他的目的地，因此，运动是不可能的。现在，我们用自己的语言来分析一下芝诺的观点

芝诺的论证

芝诺悖论的困境(摘要 试图证明 时间有限可分 时空是可分的 分析 两种相反对的观点)

世界不是连续的

芝诺的论证

古希腊埃利亚派哲学家芝诺是一位很有趣的人物。他以提出“两分法”，“阿基里斯追不上乌龟”的悖论问题而闻名于世。在这些悖论中，芝诺否认了物质运动的存在。这本来是荒谬的，但他提出的理由又是那样的雄辩，仿佛无懈可击，以至于在19世纪以前，没有任何人能驳倒他。

在两分法悖论中，芝诺要论证的是：一个正在行走的人永远到达不了他的目的地，因此，运动是不可能的。现在，我们用自己的语言来分析一下芝诺的观点。请先看右图：

正在行走的人从A地出发，要走到X地。首先，他必须通过标有1/2的B点，这刚好是A——X的中心点。然后，他又得经过标有3/4的C点，这是B——X的中心点。接着，从C点出发，在到X之前他仍要经过一个中心点，即标有7/8的D点。从D点出发，他仍然得经过D——X的中心点E……，由此类推下去，无论离X的距离有多么接近，他都得先经过一个个地中心点。然而，我们知道，这些中心点是无止境的，哪怕是微乎其微的距离，也总还有一个地方是这段距离的中心点。正因为中心点是走不完的，所以那个行走的人虽然离终点越来越近，但他始终无法到达终点。

芝诺的论证，是个典型的悖论，你能予以分析吗？

这几个悖论有这样一个特点.历史上人们多次认为破解了这几个悖论,但过后却发现根本就不是那么回事,所谓的破解却成了悖论成立的最有力的证据.现在一般认为两分法悖论已经为极限理论所破解,但真是这样吗?

芝诺悖论的困境

摘要

彭哲也（人在井天）

在我看来，这些悖论中，最为深刻的是二分法悖论，而阿斯里斯追龟可以看做是二分法悖论的翻版，本文主要探讨二分法悖论。

试图证明

二分法悖论试图证明，如果时空是无限可分的而不是有限可分的，运动是不可能的。有很多的朋友提出，时空不是无限可分的，而是有限可分的，因而二分法悖论不成立。让我们来看一下这种观点的前途如何？飞矢不动其实就是假设时空是有限可分的。但是，它试图证明，如果时空不是无限可分的，而是有限可分的，运动同样的是不可能的。真理总是用最简明的语言讲述问题，二分法悖论和阿斯里斯追龟这两个悖论是达到了用最简明的语言讲述最深刻的道理之境界的了。它所讲述的道理，只要是听过的人都能懂的。但是，飞矢不动则还没有达到这种境界。所以我们需要进一步地阐述一下飞矢不动。

时间有限可分

如果时间是有限可分的而不是无限可分的，那么，在一个不能再分的时间段内，物应该是静止的。如果物是运动的，那么，这个时间就是可以分的，而不是不可分的。物在每一个不能再分的时间段内都是静止的，那么，物在所有的时间内都应该是静止的。因而物的运动是不可能的。

时空究竟是无限可分的还是有限可分的？

时空是可分的

无论时空是无限可分的还是有限可分的观点，都是承认了时空是可分的。如果时间是可分的，那么，运动应该是存在的。既然运动不存在，那么，时间应该是不可分的。于是芝诺的老师巴门尼德可以理直气壮地说：世界是一而不是多。

时空究竟是可分的还是不可分的？世界是一还是多？

在二分法中，设起点与终点总的距离是1，在我们这些不懂数学的人看来，物如果走过了无穷个中点，物所走过的总的距离是无限地接近于1，可是数学界的朋友告诉我，不是无限地接近于1，而是实实在在地等于1，那么，是我们是对的，还是数学界的朋友是对的呢？我们来分析一下：

分析

物从起点到达第一个中点，所走过的距离是1/2，物从第一个中点走到第二个中点，所走过的距离是1/2^2,假设物走过了所有的中点，则物走过所有的中点的距离之和是：

S=1/2+1/2^2+1/2^3+.........1/2^n+.........

能不能在起点与终点之间找到一个点，它不在起点与第一个中点之间（包含起点和第一个中点），也不在任何两个中点之间（包含中点），回答是不能。因而无穷级数的距离之和，就等于起点到终点总的距离之和。因而有：

S=1/2+1/2^2+1/2^3+.........1/2^n+.........=1

从上面的计算过程，我们可以看得出，假设起点到终点总的距离是1，则物走过无穷个中点的无穷级数之和是1，而不是无限接近1.但请注意，这里是假设物已经走过了所有的中点，如果没有这个前提，就无所谓无穷级数求和了。

因而无穷级数求和本身并不能证明物走过了无穷个中点，相反的则是，它是以物走过了无穷个中点为前提才能进行计算的。这个计算并不以有最后一个中点为前提，相反的则是，它以没有最后一个中点为前提。如果有最后的一个中点，则最后的这个中点与终点之间的距离必不为0，因而无穷级数之和不等于1，而是无限地接近1。

总是有那么些朋友，在算出了无穷级数之和等于从起点到终点总的距离之后，就认为无穷级数求和已经完全地解决了二分法悖论，这个悖论已经是一个不是问题的问题，那么，请你告诉我，物最后是如何到达终点的呢？任何对于二分法和阿基里斯追龟的所谓破解，都必须要明确地回答这个问题。回答不了，我只能遗憾地告诉你，你还没有找到要点。

二分法的关键，不在于如果物走过了所有的中点，它所走过的总的距离是有限的还是无限的，而在于，这样的中点是无限多个，并且没有最后一个中点，物如果依次走过了所有的中点，那么，它也必走过了最后一个中点，但最后一个中点是不存在的，因而物不可能走过所有的中点,而物不能走过所有的中点，物也就不能最后到达终点。

两种相反对的观点

上面的分析揭示了两种相反对的观点，一种观点认为，对一段有限的时空距离的无限分割可以最终完成，虽则没有最后的中点，但在总体上，却可以看成这个分割已经完成了。这种观点在数学上叫作实无限的观点。因为无限分割已经完成，所以物走过了所有的中点而到达了终点。而另一种观点则认为，由于不存在最后一个中点，所以这种无限分割不能最后完成，它是一个永无止境的过程。这种观点叫作潜无穷。因为没有最后一个中点，所以物不能到达终点。简单地说，如果时空的无限可分是实无限，物能到达终点。如果时空的无限可分是潜无限，物不能到达终点。

那么，对有限段内的时空的无限分割，这种无限究竟是实无限还是潜无限呢？据说这个实无限与潜无限有争论，在数学上至今没有最后的定论，也许这个争论永远会要存在下去。如果是这样的话，二分法这个悖论破解了吗？我们只能遗憾地说，没有。

世界不是连续的

物理上不存在无穷小概念，

物理学研究的是客观世界，客观世界不存在“无穷小”的度量，无论是时间、空间、质量、电量、力、能量，都不存在“无穷小”而只有“最小”。也就是说，世界，本质上是离散的而不是连续的。当然，这个“最小”是什么程度，目前可能还达不到，一些理论的推导也可能并不正确，但这个“最小”的概念是肯定的，而那些由无穷小引出来的连续性的假设，仅仅是一种近似而已。

在单纯的数学上，是可以有“无穷小”、“连续性”这些概念的，这也是数学中最重要的基础概念之一。数学是可以脱离客观世界这些具体的研究对象而自娱自乐，但是，把建立在“无穷小”“连续性”上的数学原理，应用到物理问题上的时候，必须考虑：应用对象是否符合这一条件？符合程度怎样？偏差是否可以忽略？

因此，如果不加甄别，就把那些依赖于“无穷小”概念的数学方法，应用到“客观物理事件”上来，有时候就要遇到麻烦：比如----芝诺悖论，就是把“无穷小”或“连续性”假设，应用到了并不存在“无穷小”，并不连续的实际物理问题中时，所出现的偏差，这个悖论的实质就是错误地使用了数学工具。