本文主要介绍了立方和公式的字母表达，语言表达，公式延伸，公式证明，几何验证等

字母表达(立方和公式： 立方差公式： 3项立方和公式：)

文字表达(立方和，差公式： 3项立方和公式：)

公式延伸

公式证明(关于因数的立方和)

几何验证

字母表达

立方和公式：

a³+b³ = (a+b) (a²-ab+b²)

立方差公式：

a³-b³=(a-b) (a²+ab+b²)

3项立方和公式：

a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)

推导过程：

a³+b³+c³-3abc

=(a³+3a² b+3ab²+b³+c³)-(3abc+3a² b+3ab²)

=[(a+b)³+c³]-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a²+b²+2ab-ac-bc+c²)-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a²+b²+c²+2ab-3ab-ac-bc)

=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)

文字表达

立方和，差公式：

两数和（差），乘它们的平方和与它们的积的差（和），等于这两个数的立方和（差）

3项立方和公式：

三数之和，乘它们的平方和与它们两两的积的差，等于这三个数的立方和减三数之积的三倍

公式延伸

正整数范围中 1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2=（1+2+……+n）^2

公式证明

1迭代法：

　我们知道：

0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n

1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2

2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6——平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1，迭代即得。

取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1

系数可由杨辉三角形来确定

那么就得出：

(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)

N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)

(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)

...................

2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)

.

于是(1)+(2)+(3)+........+(n)有

左边=(N+1)^4-1

右边=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N

所以呢

把以上这已经证得的三个公式代入

4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1

得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

移项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

等号右侧合并同类项后得 1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)

即

1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

大功告成！

立方和公式推导完毕

1^3+2^3+3^3+......+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

2. 因式分解思想证明如下：a^3+b^3=a^3+a^2*b+b^3-a^2*b

=a^2(a+b)-b(a^2-b^2)=a^2(a+b)-b(a+b)(a-b)

=(a+b)[a^2-b(a-b)]=(a+b)(a^2-ab+b^2)

关于因数的立方和

一般而言，任取一自然数N，他的因数有1，n1,n2,n3,……，nk,N，这些因数的因数个数分别为1，m1,m2,m3,……,mk,k+2,则

1^3+m1^3+m2^3+m3^3+……+mk^3+(k+2)^3

=(1+m1+m2+m3+……+mk+k+2）^2

我们发现，上述规律对素数p是永远成立的，因为素数p的因数只有1和p，因数的个数只有1和2，所以成立。

合数的验证方法可以从因数个数出发证明，有中学水平的人可以自己证明。

比如120，有因数

1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120；它们的因数个数为

1，2，2，3，2，4，4，4，6，4，6，8，8，8，12，16，

1^3+2^3+2^3+3^3+2^3+4^3+4^3+4^3+6^3+4^3+6^3+8^3+8^3+8^3+12^3+16^3=8100

（1+2+2+3+2+4+4+4+6+4+6+8+8+8+12+16）^2=8100

几何验证

透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为：

x^3+y^3

把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到：

(x+y)^3

要得到x^3+ y^3，可使用(x + y)^3的空白位置。该空白位置可分割为3个部分：

·x×y×(x+y)

·x×(x+y)×y

·(x+y)×x×y

把三个部分加在一起，便得：

=xy(x+y)+xy(x+y)+xy(x+y)

=3xy(x+y)

之后，把(x + y)^3减去它，便得：=(x+y)^3-3xy(x+y)公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得：

=(x+y)[(x+y)^2-3xy]

(x + y)^2可透过和平方公式，得到：

=(x + y)(x ^2+ 2xy + y^2-3xy)

=(x + y)(x ^2− xy + y^2)

这样便可证明：x^3+y^3=(x + y)(x^2 − xy + y^2)