一类重要的非结合代数。最初是由19世纪挪威数学家M.S.李创立李群时引进的一个数学概念，经过一个世纪，特别是19世纪末和20世纪的前叶，由于W.基灵、É.(-J.)嘉当、（C.H.）H.外尔等人卓有成效的工作，李代数本身的理论才得到完善，并且有了很大的发展。

简介

定义

恩格尔定理

李定理

李代数的表示

例子(具体例子 抽象例子)

简介

李代数（Lie algebra）

一类重要的非结合代数。非结合代数是环论的一个分支，与结合代数有着密切联系。结合代数的定义中把乘法结合律删去，就是非结合代数。

李代数是挪威数学家S．李（数学家李）在19世纪后期研究连续变换群时引进的一个数学概念，它与李群的研究密切相关。在更早些时候，它曾以含蓄的形式出现在力学中，其先决条件是“无穷小变换”概念，这至少可追溯到微积分的发端时代。可用李代数语言表述的最早事实之一是关于哈密顿方程的积分问题。S．李是从探讨具有r个参数的有限单群的结构开始的，并发现李代数的四种主要类型。法国数学家嘉当在1894年的论文中给出变数和参变数在复数域中的全部单李代数的一个完全分类。他和德国数学家基灵都发现，全部单李代数分成4个类型和5个例外代数，嘉当还构造出这些例外代数。嘉当和德国数学家外尔还用表示论来研究李代数，后者得到一个关键性的结果。“李代数”这个术语是1934年由外尔引进的。随着时间的推移，李代数在数学以及古典力学和量子力学中的地位不断上升。到20世纪80年代，李代数不再仅仅被理解为群论问题线性化的工具，它还是有限群理论及线性代数中许多重要问题的来源。李代数的理论不断得到完善和发展，其理论与方法已渗透到数学和理论物理的许多领域。

定义

假设L是域F上的向量空间。如果L上有一个运算L×L→L，(x,y)→[x,y]满足以下三个条件，则称L是一个李代数。

（1）这个运算是双线性的，即 [ax+by,cz+dw]=ac[x,z]+cb[y,z]+ad[x,w]+bd[y,w]。

（2）[x,x]=0，对L中任意元素x。

（3）[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0，对所有L中元素x，y，z。由条件(2)可知李代数运算满足反对称性[x,y]=-[y,x]。

条件(3)称为Jacobi等式。

我们也可以把[x,]看成一个导子，即满足莱布尼兹法则的导算子，将此导子记为ad x。

L的子空间K称为(李)子代数，如果K关于运算[,]封闭。L 的子代数I若满足[x,y]∈I,对于任意的x∈L,y∈I,则称I为L的一个理想或不变子代数。显然，它是L的子李代数。

如果令F是一个域，集合g称为F上的一个李代数是指:①g是F上一个向量空间。②g带有一个二元运算，称为换位运算,即对于任意X,Y∈g，有g中惟一确定的元素(记为【X,Y】)与之对应。③ 满足下列三条件即对于任意α、b∈F,X,Y,Z∈g,有【αX+bY,Z】=α【X,Z】+b【Y，Z】，【X,αY+bZ】=α【X，Y】+ b【X，Z】；【X，X】=0；【【X,Y】,Z】+【【Y,Z】，X】+【【Z,X】,Y】=0（雅可比恒等式）。

李代数g作为F上向量空间,它的维数称为李代数g的维数。

由③中的前两个条件可推出，对于任意X，Y∈g，有【X,Y】=-【Y,X】；反之,当F的特征不为2时可由此式推出③中的第二个条件。

设g是域F上一个向量空间,在g中定义换位运算：对于X,Y∈g，令【X,Y】=0，则g作成一个李代数，称为交换（或阿贝尔）李代数。

在R^3={(x1,x2,x3)|xi∈R,R 是实数域，i=1, 2，3}中, 设①：[X,Y]=②，则R3作成R上一个李代数。

令V 是域F上一个向量空间。可知V的一切线性变换作成F上一个向量空间，设ƒ、g是V的线性变换,令ƒg表示ƒ与g的合成,并定义【ƒ,g】=ƒg-gƒ，直接验证可知，V的全体线性变换所组成的向量空间，对于这样定义的换位运算,作成F上一个李代数。这个李代数称为全线性李代数，记作g{(V)。

类似地,域F上全体n×n矩阵所组成的向量空间，对于换位运算【A,B】=AB-BA（A、B是n×n矩阵）,作成F上一个李代数，并称之为F上全阵李代数，记作g{(n,F)。

更一般地,设U是域F上一个结合代数。对于α、b∈U定义【α,b】=αb-bα，则U作成F上一个李代数。

子代数、理想、商代数、同态 令g是域F上一个李代数，α、b是g的子空间。记【α,b】={Σ【A,B】(有限和)│A∈α,B∈b }，则【α, b】是g的一个子空间。设α是g的一个子空间。如果【α, α】嶅α，那么就称α是g的一个子代数;如果【α, g】嶅α,那么α就称为g的一个理想。由于【α,g】=【g,α】，因此李代数的理想都是双边的。如果α是g的一个理想，在商空间g/α里，定义【X+α,Y+α】=【X,Y】+α，那么g/α作成F上一个李代数,称为g模α的商代数。

设g1、g2是域F上李代数。ƒ:g1→g2是一个线性映射。如果对于X、Y∈g,ƒ(【X,Y】)=【ƒ(X), ƒ(Y)】，那么ƒ就称为一个同态映射。如果ƒ还是一个双射，那么就称ƒ是一个同构映射,这时g1与g2就称为同构,记作g1≌g2。设ƒ:g1→g2是一个同态映射，则 Im ƒ=ƒ(g1)是g2的一个子代数,而Kerƒ=ƒ-1(0)是g1的一个理想，并且ƒ导出一个同构g1/Ker ƒ≌Im ƒ。

设V是域F上一个n维向量空间。通过取定V的一个基，可以在全线性李代数g{（V）与全阵李代数 g{(n, F)之间建立同构，因而常把这两个李代数看成是一样的。g{(n,F)（或g{(V)）的子代数称为线性李代数。一些重要的线性李代数如下：t(n,F)={(αij)|(αij)∈g{(n,F)，αij=0,若i>j}。它是F上一切n×n上三角形矩阵所组成的集合。n(n,F)={(αij)|(αij)∈t(n,F),αij=0,1≤i≤n}，即主对角线上元素都是0的 n×n上三角形矩阵所组成的集合。

容易验证,t(n,F)和n(n,F)都是g{(n,F)的子代数。

域F上一切迹是0(即主对角线上元素的和等于0)的n×n 矩阵,作成g{(n,F)的一个理想,记作s{(n,F)。当F是复数域，而n=l+1(l≥1)时，这个李代数通常记作Al，称为特殊线性李代数。

取定域F上一个n×n对称或反对称矩阵M。 令g={X∈g{(n,F)| tXM+MX =0}(X表示X的转置), 则g是g{(n,F)的子代数。现设F是复数域，M是一个非退化对称矩阵，于是M与以下两个矩阵之一合同：

当n=2l+1，③；当n=2l，④。在前一情形，与之相当的g记作Bl；在后一情形，记作Dl。这两类李代数都称为正交代数。如果M是一个非退化反对称矩阵，那么n一定是偶数：n=2l，因此M与⑤合同。与此相当的李代数g称为辛代数，记作Cl。

可解李代数、幂零李代数 设g是域F上一个李代数，α、b是g的理想，那么【α,b】仍是g的一个理想，特别,g(1)=【g,g】, g(2)=【g(1),g(1)】,…,gn+1=【g(n), g(n)】，…都是g的理想。于是有g叾g(1)叾g(2)叾…，称为g的导出链。g(1)称为g的导出代数。如果存在一个正整数n，使得g(n)={0}，那么就说g是可解的。

再定义g1=g,g2=【g,g1】,…,gn+1=【g,gn】,…，又可得到g的一个理想序列g1叾g2叾…,称为g的降中心链。如果存在一个正整数n，使得gn={0}，那么就说g是幂零的。因为g(i)嶅gi，所以幂零李代数一定是可解的。

恩格尔定理

令V是域F上一个n（大于零）维向量空间，g是g{(V)的一个子代数。如果g的元素都是V的幂零线性变换, 那么存在V的一个非零向量v，使得对于每一个X∈g都有X·v=0，因此，适当选取V的基，并且将g{(V)与g{(n,F)看成一样的,就有g嶅n(n,F)。

李定理

令F是一个特征为0的代数闭域，V是F上一个n（大于零）维向量空间,g是g{(V)的一个可解子代数，则存在V 的一个非零向量v，使得对于每一X ∈g都有Xv=φ(X)v，φ(X)∈F。因此适当选取V的基可以使得g嶅t(n，F)。

单李代数、半单李代数 域F上一个李代数g是所谓单的，即指除了g本身和{0}以外,g不含其他理想。F上一个有限维李代数g是所谓半单的，即指g不含非零可解理想。每一个有限维李代数g都含有惟一的最大可解理想r,就是这样一个理想, 它包含g的一切可解理想，称为g的根基。g是半单的当且仅当它的根基 r={0}。除一维李代数外,有限维单李代数都是半单的。特征为0的域上每一个半单李代数都是一些单李代数的直和。

李代数的表示

令g是域F上一个李代数，V 是F上一个向量空间。李代数的一个同态ρ: g→g{(V)，称为g在V上的一个线性表示,简称表示。用(ρ，V)代表g在V上的表示ρ，V称为ρ的表示空间。当dimV=n时,取定V的一个基，将g{(V)与g{(n,F)看成一样,于是就得到一个李代数同态ρ: g→g{(n,F)，仍记作ρ,称为g的一个矩阵表示。如果g的一个表示ρ是单射，那么就称(ρ,V)是一个忠实表示。有阿多－岩沢定理：域F上每一个有限维李代数都有一个忠实表示。

设(ρ,V)是李代数g的一个表示。V的一个子空间W称为ρ(g)不变的，即指W在一切ρ(X)(X∈g)之下不变。李代数g的一个表示(ρ,V)称为不可约的，是指除{0}和V本身外,V没有其他ρ(g)不变子空间。所谓(ρ,V)是完全可约的,意即V是一些ρ(g)不变的子空间的直和,并且ρ在每一个这样的子空间上的限制都是不可约的。有外尔定理：特征为 0的域上半单李代数的每一（有限维）表示都是完全可约的。

最重要的一种表示就是所谓伴随表示。设X是李代数g的一个元素。对于每一Y∈g，定义adX(Y)=【X,Y】，则adX是g的一个线性变换,并且ad∶X→adX(X∈g)是g到g{(g)的一个同态映射(利用雅可比恒等式很容易验证)。因此，(ad,g)是g的一个表示。表示空间就是g本身，称为g的伴随表示。

设(ρ，V)是g的一个有限维表示。定义一个对称双线性型 k:g×g→F；对于X、Y ∈g, 定义k(X,Y)=Trρ(X)·ρ(Y)(ρ(X)ρ(Y)的迹)。特别,当g是有限维的而ρ是伴随表示ad时, k称为g的基灵型。基灵型在研究李代数的结构中起重要的作用。例如有嘉当判定准则：特征为0的域上一个(有限维)李代数是半单的,必要而且只要g的基灵型非退化。

例子

具体例子

1. 设V是域F上的线性空间，则V上线性变换全体构成了一个线性空间，记为gl(V)。定义[x,y]=xy-yx，这里x，y是gl(V)中元素，xy和yx都是线性变换的复合，则gl(V)关于这个运算构成李代数。这个李代数称为一般线性代数(general linear algebra)。

2. 设V是域F上的l+1维线性空间，则V上行列式为1的线性变换构成一个线性空间，记为sl(V)。定义[x,y]=xy-yx，这里x，y是sl(V)中元素，xy和yx都是线性变换的复合，则sl(V)关于这个运算构成李代数。这个李代数称为特殊线性代数(special linear algebra)。

3. 三维向量空间， 运算定义为通常的外积(叉乘)运算。

抽象例子

1. L的中心Z(L)={z∈L | [x,z]=0, 对所有 x∈L}是一个李代数。

2. 集合[L,L]称为导出代数，是由所有[x,y]线性组合构成的集合。它是一个李代数。