理查德悖论

法国第戎中学教师理查德在1905年发表了一个悖论，大意如下：法语中某些片语表示实数，比如“一个圆的圆周与直径之比”就表示实数π。法语字母也象英语字母一样有一定的顺序，所以我们可以把所有片语按照字母顺序排列，然后按照片语中字母的多少排列，少的在前，多的在后。这样我们把能用片语表达的实数排成一个序列，al，a2，a：，……。于是就得到了所有能用有限多字(字母)定义的数了。它们构成了一个可数集合E。现在我们提出一个规则把这个序列改变一下造成一个数来：“设E中第n个数的第n位为p，我们造一个实数如下：其整数部分为0，如果p不是8或9；其第n位小数为p＋1，要是p是8或9的话，则第n位变成1”。这个实数显然不属于E，因为它和E中每个数都不一样。但是它们却可以由上面有限多个字组成的话来表示，因此应该属于E，这就出现矛盾。

悖论的解决

理查兹悖论并不是真正的悖论。在悖论排列定义时一个关键的、但是没有提到的假设被忽略了。

我们说到列举整数得着算术特征，也就是说设计加法、乘法等的特征。但是后来我们却在这些加进去了一个关于算术特征编号的特征。一个数字是否理查兹性不是我们本来打算列举的特征之一，因为这个定义是关于一个描述的字数等等的元数学写法。

因此要解决这个悖论我们需要区分数学（比如算术）和元数学（比如一个定义的写法）。

“把所有片语按照字母顺序排列”，是不可能组成有限集合的。编辑此集合时，也就是完成此集合前，法语：“集合E”无意义。因此不存在包含“集合E ”的代表实数的片语。

而在此集合出现后，集合E，出现意义，则原有集合已不符合编制集合的要求。必须编制新的集合。新集合包含全部含有“原有集合E” “集合E”的片语。

但在新集合完成后，原本无意义的词“第一次修改过的集合E”，出现实际意义，则必须对集合进行第二次修改。

如此循环，满足于 “把所有片语按照字母顺序排列”的集合，必须为无限集合

且集合中包含含有如下词条的全部片语：

“集合E”

“原有集合E”

“第一次修改后的新集合E”

“第二次修改后的新集合E”

……

“第N次修改后的新集合E”

包含这些词条的全部片语，必定包含悖论中所造的实数。集合包含此实数。关键是这个集合不可能是可数集合