| 词条 | 非线性力学 |
| 释义 | § 学说的发展 首先，经过200年的积累，通过对压杆失稳、非线性振动和三体问题等典型非线性问题的研究，非线性力学已积累了相当的认识和理论。例如，庞加莱从三体问题的研究，已认识到在非线性系统中，一种我们觉察不到的起因可能产生一个显著的、我们决不会看不到的结果。 其次，当时的工业和生产，已提出大量重大问题，迫切希望解决。一是飞行跨越声障的问题，二是航空采用的薄壁构件的行为，三是新材料，如塑料、纤维等的出现和应用。这些需求都提出了大量的非线性力学问题。跨越声障要了解激波，采用薄壁构件要解决大变形屈曲，使用新材料要遇到非线性物性。这些问题，往往与线性化了的问题有根本性质上的不同，因此，不论是处理工具还是基本概念都要靠拼搏，去开拓、创新。 因此，在本世纪上半叶的物理学革命的大潮中，看起来处于旁观地位的力学，一方面开拓了航空等大型新兴工业，另一方面，继承着欧拉、庞加莱等人的传统，率先向非线性领域突进了。当时，大概几乎还没有人意识到，这个突进，在本世纪后半叶竟发展成了超越牛顿开始的机械论、又超越当时的物理学革命家们开创的还原论的一种新的自然观。 § 学说简介 主要研究体系的定解方程、本构方程、运动方程等非线性方程的各类问题。由于新现象的发现，新材料和新结构的应用,使非线性理论广泛受到重视,不少学者对古典理论从几何的或物理的角度进行了不同程度的修正，提出了各式各样的非线性工程理论，形成了许多非线性分析的新学科。非线性力学近年来在结构与介质的共同作用、工程结构抗震动力学、土力学、断裂力学、流体力学、疲劳、热应力……等等方面都得到了广泛的发展。 非线性弹塑性力学 在工程问题中有两种非线性类型──几何的和物理的。它们可以看作彼此没有关联,如转动角的微小并不包括伸长度和切应变的微小，反之亦然。这样，从几何上和物理上的线性和非线性区分工程问题,可分为四种:物理线性和几何线性、物理非线性和几何线性、物理线性和几何非线性、物理非线性和几何非线性。后三类都是非线性问题，均以软钢为例作说明。 物理线性和几何线性 在这一类型的问题中，物体转动角的大小同伸长度和切应变同一量级，而伸长度小于所研究材料的比例极限。受拉伸的直杆，当杆中的应力不超过比例极限时，是线性问题中最简单的例子。 物理非线性和几何线性 在计算作用于微元体上力的投影和在确定其应变时，仍可略去转动角，但是伸长度超过了比例极限，此时应力和应变之间是非线性关系，对结构要进行弹塑性分析。如理想的弹塑性材料的矩形梁的弯曲情况，只限于非线性弹塑性小变形、静力分析范围，其基本假设与弹性梁弯曲理论相同。当均布荷载不断增加到某一数值时，梁中最大弯矩的截面上最大应力点开始屈服，然后塑性区逐渐对称地从上下两面开始扩展，最后整个截面进入塑性区。当荷载q 大于初始屈服荷载qe时，梁的中部为部分塑性区，两端为弹性区域（图1a），当ρ＝q/qp＝2/3时（qp为梁的极限载荷）,梁开始屈服，屈服发生在梁中间截面的上下两点。如果荷载继续增大，则屈服点扩大成为上下两个塑性区域，以至两塑性区域最后在梁轴中点连接起来，达到截面全部塑性状态，此时ρ＝1,荷载称为极限荷载,图1b表示在不同的 ρ时的弹塑性界线。图2表示w0/w奵与ρ 的关系，其中w0表示x＝0处的挠度,w奵表示梁中央横截面上外边纤维应力首先达到屈服极限时的中点挠度（也称为弹性极限挠度）。由图可见,w0/w奵的数值随ρ值的增加而增大，当 ρ＝0.95时（即非常接近于极限荷载时），w0/w奵≈2,但挠度并不太大，仍属弹性变形量级。若材料为理想塑性材料,当ρ＝1.0时,简支梁处于极限状态，可以开始无限制的塑性变形，在梁跨中截面处形成所谓“塑性铰”。近年来,对于强化材料构成的梁板结构,用已知结构的弹性解分析结构的弹塑性静力与动力性能。基于塑性应变与作用力之间的相似，可以把对弹塑性体的分析化为具有一组附加外力的相同弹性体进行分析。如弹塑性梁的运动方程为 非线性力学 非线性力学 (1)式中E为弹性模量;I为惯性矩；为梁进入弹塑性状态后的附加荷载，即塑性应变(e")应。方程左端与弹性梁振动完全一样，其刚度及本征向量正规振型都不随时间而变化，只是将塑性应变增量当成作用在物体上的附加力看待。这样，就可以应用已知弹性解分析相应弹塑性结构的应力、应变和位移。 物理线性和几何非线性 在这一类问题中转动角实质上是大的（在应变不超过比例极限的情况下），亦即物体变形不是微小的,因此不能略去形变的乘积不计,从而形成了几何上的非线性。如可以把优质钢的薄长条弯到两端碰在一起，放松后它将恢复平直而没有剩余应变。这说明了即使在很大的位移和转动角下，长条中的应力仍可不超过屈服应力（对于软钢，屈服应力和比例极限应力很接近）。在梁、板、壳体结构中也存在着大量的这类非线性问题，例如大挠度平板（柔韧板），当平板的挠度与其厚度相比不是一个小值，然后仍较平板的其他尺寸为小时，则必须考虑中面变形的影响。应变必须要考虑到高阶二次项(非线性项)，如。挠度与荷载间存在着非线性关系。由此而推得一组非线性定解方程如下： (2) (3)式中D为板的抗弯刚度；h为板的厚度；w为板的挠度；Ф 为应力函数，与中面力之间的关系为 ，(2)和(3)式分别表示在直角坐标系统中大挠度平板的平衡方程和形变连续性方程。 几何非线性问题已在梁、板、壳体结构静力、动力和稳定问题中得到广泛的应用。 物理非线性和几何非线性 在这类问题中，应变超过比例极限，同时转动角也大到再不能把它当做小值来看待，必须同时在应力-应变关系公式中,在微元体的平衡方程中及在应变公式中考虑到非线性项。如在钢条弯曲时应力超过比例极限，就属于这一类问题。这是两类非线性同时存在的问题，如果用联合求解的形式，可以获得较满意的近似解。 非线性振动 一个物理的振动系统，当它的元素都服从线性规律时,可用线性方程表示。在许多元素中,有关的物理量的变化不能视为很小,因而出现非线性时,则对应的方程是非线性方程。在元素的微小变化不服从线性规律的情况下，也成为非线性方程。凡是由非线性方程描述的振动系统称为非线性振动。在一个自由度系统的振动问题中，一般总是认为弹簧内的弹性力与其变形成比例，结构阻尼与速度成比例，结构质量不随时间变化，这样，一个自由度系统振动方程就是线性、常系数的二阶常微分方程为 m塯(t)+β凧(t)+kx(t)＝F(t) (4) 式中m为质点质量；β为粘滞阻尼系数;k为弹性恢复系数。但是在有些工程中，如结构与流体的共同作用，此时一个自由度的非线性方程为 m塯(t)+β凧(t)+kx(t)+Cd喣凧(t)喣凧(t)＝F(t) (5) 式中m、β和k均为常数；Cd喣凧(t)喣为流体的阻尼系数，喣凧(t)喣取模表示流体阻尼力方向与结构运动方向总是相反的。对于m、β和k都是空间和时间函数时,一个自由度的典型的非线性方程为 (6)要对方程(6)进行求解，目前尚有困难。 非线性波动 近几年来，在物理学和工程技术的许多领域中，非线性波的传播越来越受到重视。一般把服从于非线性方程的有限振幅的波称为非线性波。由于迭加原理不能用于求解非线性波动方程，无法应用常用的傅里叶展开和拉普拉斯变换，所以较难查明非线性波的性质。但是最近随着各种非线性波动现象问题的提出和电子计算机的发展，使它的研究取得快速的进展，弄清了各种新的问题。非线性波也和线性波一样，可区分为耗散性和色散性。但是，对于非线性波，如果忽略耗散性和色散性，波的相速度一般仅由振幅决定。在这种情况下，通常振幅越大波的相速度就越大。因此，如果开始时大振幅波在小振幅波的后面,则随着时间的增长,大振幅波将追上前面的小振幅波，发生波的突陡，最后波被破坏。超声速飞机产生的冲击波可作为这种耗散型非线性波的一个典型例子。扫过冲击波阵面的气体由于粘滞性而被加热，这个耗散性与由飞行器引起的突陡相平衡而形成冲击波。冲击波不仅在气体中传播，而且也在液体和固体中传播，爆炸产生的冲击波的应用范围特别广泛。 非线性随机振动 设有一随机微分方程为 (7)式中g(x，凧)是位移x和速度凧的非线性函数；F(t)是随机荷载，这种包括非线性影响的随机微分方程所描述的系统振动就属于非线性随机振动。非线性随机振动不同于线性随机振动的主要方面有:①不能使用迭加原理;②不能使用相关理论；③输入是正态分布时，输出就不再是正态分布。非线性随机振动除去少数已知其精确解的问题外，大量实际上有重要意义的问题只能用近似解法处理。求解非线性随机振动问题的方法，主要有：①福克尔-普朗克法;②等价线性化法;③摄动法 (小参数法)。 [1] § 学说发展 首先，经过200年的积累，通过对压杆失稳、非线性振动和三体问题等典型非线性问题的研究，非线性力学已积累了相当的认识和理论。例如，庞加莱从三体问题的研究，已认识到在非线性系统中，一种我们觉察不到的起因可能产生一个显著的、我们决不会看不到的结果。 其次，当时的工业和生产，已提出大量重大问题，迫切希望解决。一是飞行跨越声障的问题，二是航空采用的薄壁构件的行为，三是新材料，如塑料、纤维等的出现和应用。这些需求都提出了大量的非线性力学问题。跨越声障要了解激波，采用薄壁构件要解决大变形屈曲，使用新材料要遇到非线性物性。这些问题，往往与线性化了的问题有根本性质上的不同，因此，不论是处理工具还是基本概念都要靠拼搏，去开拓、创新。 因此，在本世纪上半叶的物理学革命的大潮中，看起来处于旁观地位的力学，一方面开拓了航空等大型新兴工业，另一方面，继承着欧拉、庞加莱等人的传统，率先向非线性领域突进了。当时，大概几乎还没有人意识到，这个突进，在本世纪后半叶竟发展成了超越牛顿开始的机械论、又超越当时的物理学革命家们开创的还原论的一种新的自然观。 § 学说应用 当前，社会和产业发展面临的迫切问题，或许可以概括为：可持续发展、国家在世界经济中的竞争力、重大工程寿命预测和自然灾害预报等。如何解决这些问题，除了社会因素之外，大家或许会想到先进的信息、材料和生命科学技术。但是，如果稍加注意便会发现，问题主要涉及的是宏观物质世界的运动，特别是它们的运动模式的变化。例如，我们之所以关心可持续发展战略，一个重要原因，是不希望生存环境的负荷超过某个临界状态，以便我们能生存于良性循环之中。又如，构成国家竞争力的要素固然很多，但突破常规（可比拟为非线性外推）的硬软件工程技术，却依然是竞争力的核心。如在本世纪上半叶构成西方军力、生产力重要部分的航空业，就曾密切依赖于上面引述过的声障、薄壁件、新材料三方面的突破。因此，以宏观物质的多层次运动为主要研究对象的非线性力学及其应用，将会对我们的社会发展和生产起很大的作用。 举一些更具体的典型例子，也许会更形象。如：起飞重量为数百吨，机体尺寸为半个足球场大小的民航机，虽然乘客都能清楚看到机翼的明显颤动和位移，但它却在气体中安全地飞行。反面的例子，如大跨度的桥梁，在风载下坍塌是时有所闻的。1940年全长1.6公里，列为当时世界第三的美国Tacoma大桥，在大风下激烈振荡，坍塌。其原因就是设计师不了解风和大桥的非线性相互作用，只按静载设计造成的。不幸的是，这类事故至今仍未能完全消除。最近，美国一座数百米高的电视塔突然倒塌，就是一例。 面对未来，待解决的重要问题更多。重大工程，如水坝、机组运行了多年；或大型武器，如战略武器贮备了多年，它们还能安全可靠运行多久？什么时候到了临界状态，怎么预先测知？再如，空天飞机等新型飞行器，面临燃料在超声速流动状态下的混合和点火，对于流速超过了声速的流动，混合规律是什么呢？还有，对于自然灾害频繁的我国，我们能在多大的可靠程度上预报地震、台风、洪水等重大自然灾害，等等。这类社会和科学发展中的重大的、未解决的问题，不胜枚举。 § 典型问题 归纳各种各样、大大小小的应用，典型化的非线性力学问题，或者可以举以下典型问题为例： 1.三体问题 1887年瑞典国王奥斯卡二世（OscarⅡ）悬赏2500克朗，征求解答：太阳系是否是稳定的？例如某个星球是否会与太阳相撞。众所周知，太阳系有九大行星，问题是十分复杂的。其中所含的基本问题是，三个质点在万有引力作用下的运动，简称三体问题。其困难在于给定初始位置和速度，并不能像机械论判定的那样，确定以后任意瞬时的位置与速度，从而确定是否二个质点会相撞等。 2.屈曲 1744年欧拉研究过细杆在轴向力压缩下的变形。该细杆在轴向力较小时保持轴向变形，但当轴向载荷超过某一临界值后，压杆变形倾向于其一侧拱曲。这种现象被称为压杆屈曲或解的分叉。板、壳等一大类构件在受载时，均会发生这种偏离原对称平衡位置的不对称变形。因此，广义上它是弹性系统稳定性的问题。它的特点和难点在于，从一个对称平衡变形态中，怎么会又冒出另一个非对称的屈曲模态，屈曲以后，什么变形模态是最可能的。 3.非线性振动 振动是极常见的现象。大家都熟悉简谐振动，特别是通过富氏分析，了解了基频振动和高频分量的作用。但到了非线性振动，一系列完全不同的新现象出现了。其中由负阻尼引起的自激振动——系统靠内部维持振动，和次谐波共振（分频）——系统外部强迫激励几分之一的频率振动，最引人注目。不断分频而导致混沌，把确定性动力系统和随机统计结合了起来。 4.孤立子 上世纪30年代，J.R.Russell在英国一条运河中，骑马追踪观察到一个突起的水峰能长时间维持其形状和运动速度，沿河道持续行进，被称为孤立波。二次大战后，费米等人计算非线性弹性弦，发现类似的现象。到60年代，Zabusky和Kruskal才指出这是一类由非线性和色散的强耦合，形成的非常稳定的、即使碰撞也不改变形状的、像粒子一样的波结构，称为孤立子。它表明在非线性（力学）现象中，除了分叉和不确定性解的另一个侧面，即非常有组织的结构。这个力学理论，在20年后，竟成了远距离光纤通讯的核心概念。 5.激波或叫冲击波 在连续的流动中，当质点运动速度超过物质中的声速时，连续的流动会变成不连续的，也就是压力、速度、密度都会形成一个突跃。然而激波的出现不是预先给定的，它是强非线性造成的一个自由界面，飞行体在这种情况下遇到的麻烦就叫“声障”。二次大战期间，美国洛克希德公司新造的战斗机，当时速为0.8声速时，曾机毁人亡。事后检查，局部流速超过声速，激波不仅减弱升力，而且造成整机强烈振动而失去平衡。后来发现在固体中，甚至在交通车辆流中，激波也起着重要作用。 6.湍流 湍流被称为是经典物理学中的最后的疑难。湍流问题难在哪里？其关键是，它是一个真正的“多体”问题。例如，其自由度可用雷诺数的9/4次方估计，即使雷诺数为104，其自由度已高达109，相当目前计算机能力的上限。在湍流中，各种不同空间和时间尺度的大小旋涡相互嵌套着，能量在其间传输。强非线性相互作用，使得难以将看似有序的大尺度拟序结构与“混乱”的小尺度结构分割开来。湍流既是复杂流动向我们的挑战，也是长期以来，人们窥视复杂运动普遍规律的一个窗口。 7.破坏 容易想象，固体破坏的物理本质，是从原子键的断开，到宏观固体的分离的全面展示。正因为如此，它跨越了从原子间距（Å）到宏观工件（mm～m）之间107～1010的跨度，因此，其间的复杂性，可与湍流相比。以至，钱学森把它列入连基本概念还不清楚的一类问题。有时候，忽略细节的宏观处理，如伽里略开始的强度理论，能提供一些可信的结果。然而，有时，一些微观细枝末节却又牵一发而动全身，造成“蝼蚁之穴，溃堤千里”的惊人效果。多层次的非线性相互作用，在这里布置了一座迷宫，我们尚未找到合适的通道。 § 共同特征 上面所列的几个问题，决不是非线性力学的全部，而仅是几个示范例子，它表明的共同特征，目前可以概括为以下几点： 1.局部之和不等于整体 因此不可能把对整体的认识，简单还原为对若干局部的认识；另一方面，大量单元按某些简单规律的多次重复，可能其总效应并不简单。 2.不确定性 或者称确定性的随机行为，混沌即是一例。应该讲，在压杆屈曲中所显示的解的分叉，就是这种不确定性的原由之一。湍流则应是这方面一个活的沟通理论与实际的例子。 3.组织性 强非线性耦合，还会造成与不确定性完全相反的一面，即坚不可摧的有组织的结构，孤立子是这方面的典型范例。 4.复杂性 由上面几点合起来看，构成了现象谱的复杂性，而且不同特征或模式间的转换，由某种底蕴暗流所控制，表现上有突变性。 § 共性的根源 可能来自三方面：非线性、非平衡、多层次。 因此，站在世纪之交的人们，面临着自然观，从机械论，进而到还原论，再进而到非线性演化的发展。周光召在1995年的科学大会上讲，我们“看到的将是与牛顿，爱因斯坦创建的决定性的、简单和谐的模式不同，而是一个演化的、开放的、复杂的世界，这是一幅更接近真实的世界图景。”在这样一种观察中，非线性力学，曾起过突进作用。半个世纪以前，冯·卡门的大声疾呼“工程师与非线性问题拼搏！” 现在，已成为大批工程师和科学家，从航空、航天到大型土木和海洋工程，从气象预报、地震预报到污染控制和生态环境保护领域的协同行动。但是，核心困难往往卡在强非线性耦合作用，及其引起的突变性问题上。显然，非线性力学是理论和实践，科学与工程的一个关键交汇点。因此，希望科研领导部门认识到，非线性力学的研究，是推动我国工程和科学发展的一种有长远影响的内在动力，予以重视和支持。 最后，应该强调，在近代史中，中国人只在少数学科，对近代科学有记入史册的贡献，非线性力学就是一个“中国人最有成就的学科”。（见钱伟长引林家翘语，《力学进展》1983.13.P117）。如周培源对一般湍流的模式的研究，钱学森的跨声速流相似率和壳体非线性失稳理论，钱伟长的扁球壳跳跃变形理论，郭永怀的奇异摄动法（PLK法——庞加莱，莱特希尔，郭永怀方法）等。因此，中国的非线性力学研究者，在国家和社会的需要提出如此重大的一些非线性力学问题的时候，在自然科学新观点又滋生于一大类非线性力学问题的时候，理应继承力学界前辈的传统，勇于创新，勇于开拓，做出符合时代要求的贡献。 § 配图 § 相关连接 参考文献 1 陈立群，刘延柱。非线性动力学。上海：上海交通大学出版社，1999 2 Gleick J . 张淑誉译。混沌：开创新科学。上海：上海译文出版社，1990 3 陈立群。科学中混沌概念的演化。自然杂志，14,8(1991) : 619-624 4 Hao Bai-Lin . Chaos II . Singapore : World Scentific , 1989 5 Cvitanovic P . Universality in Chaos , 2nd ed. . Bristol : Adam Hilger , 1989 6 Abraham R , Marsden JE . Foundations of Mechanics . Massachusetts : Benjamin , 1978 7 Kuznetsov YA . Elements of Applied Bifurcation Theory . New York : Springer-Verlag , 1995 8 Mandelbrot BB . 陈守吉，凌复华译。大自然的分形几何。上海：上海远东出版社，1998 9 Hurd AJ . Fractals : Selected Reprints . College Park MD : Amer. Asso. Phys. Teacher , 1989 10 陈立群，刘延柱。振动力学发展历史概述。上海交通大学学报，31 , 7(1997) : 132-136 11 陈立群。非线性问题研究中的数值实验。自然杂志，16,6(1993) : 10-13 发表于《长白学刊》1999年第5期184-185页 |
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