| 词条 | 递归函数 |
| 释义 | § 递归函数 § 正文 数论函数的一种,其定义域与值域都是自然数集,只是由于构作函数方法的不同而有别于其他的函数。处处有定义的函数叫做全函数，未必处处有定义的函数叫做部分函数。最简单又最基本的函数有三个:零函数O(x)=0(其值恒为0);射影函数；后继函数S(x)=x+1。它们合称初始函数。要想由旧函数作出新函数，必须使用各种算子。 代入（又名复合或叠置）是最简单又最重要的造新函数的算子，其一般形状是：由一个m元函数ƒ与m个n元函数 g1,g2,…,gm 造成新函数 ƒ (g1(x1,x2,…,xn)，g2(x1,x2,…,xn),…,gm(x1,x2，…，xn)),亦可记为ƒ(g1，g2,…,gm)(x1，x2,…,xn)。另一个造新函数的算子是原始递归式。具有n个参数u1，u2,…,un的原始递归式为： 具有一个参数的原始递归式可简写为： 其特点是，不能由g、h两函数直接计算新函数的一般值ƒ(u,x),而只能依次计算ƒ(u,0)，ƒ(u,1)，ƒ(u,2)，…；但只要依次计算，必能把任何一个ƒ(u,x)值都算出来。换句话说只要g,h为全函数且可计算，则新函数f也是全函数且可计算。 由初始函数出发，经过有限次的代入与原始递归式而作出的函数叫做原始递归函数。由于初始函数显然是全函数且可计算，故原始递归函数都是全函数且可计算。通常使用的数论函数全是原始递归函数，可见原始递归函数是包括很广的。但是W.阿克曼证明了，可以作出一个可计算的全函数，它不是原始递归的。经过后人改进后，这个函数可写为如下定义的阿克曼函数： 容易看出,这个函数是处处可计算的。任给m,n的值，如果m为0，可由第一式算出；如果m不为0而n为0，可由第二式化归为求g(m,1)的值，这时第一变目减少了；如果m，n均不为0,根据第三式可先计算g(m,n-1),设为α，再计算g(m-1,α),前者第二变目减少（第一变目不变）,后者第一变目减少。极易用归纳法证得，这样一步一步地化归,最后必然化归到第一变目为0，从而可用第一式计算。所以这个函数是处处可计算的。此外又容易证明，对任何一个一元原始递归函数ƒ(x),永远可找出一数α使得ƒ(x)<g(α,x)。这样，g(x,x)+1便不是原始递归函数，否则将可找出一数b使得g(x,x)+1<g(b,x)。令x=b，即得g(b,b)+1<g(b,b)，而这是不可能的。 另一个重要的造新函数的算子是造逆函数的算子，例如，由加法而造减法，由乘法造除法等。一般，设已有函数ƒ(u,x),就x解方程ƒ(u,x)=t,可得x=g(u,t)。这时函数g叫做ƒ的逆函数。至于解一般方程ƒ(u，t,x)=0而得x＝g(u，t)可以看作求逆函数的推广。解方程可以看作使用求根算子。ƒ(u,t，x)=0的最小x根（如果有根的话），记为μx【ƒ(u,t,x)=0】。当方程没有根时,则认为μx【ƒ(u,t,x)=0】没有定义。可见,即使ƒ(u,t,x)处处有定义且可计算,但使用求根算子后所得的函数μx【ƒ(u,t,x)=0】仍不是全函数,可为部分函数。但只要它有定义，那就必然可以计算。这算子称为μ算子。如果ƒ(u,t,x)本身便是部分函数，则 μx【ƒ(u,t,x)=0】的意义是：当ƒ(u,t,n)可计算且其值为0,而x<n时ƒ(u,t,x)均可计算而其值非0，则 μx【ƒ(u,t,x)=0】指n；其他情况则作为无定义。例如，如果ƒ(u,t,x)=0根本没有根，或者虽然知道有一根为n，但ƒ(u,t,n-1)不可计算,那么 μx【ƒ(u,t,x)=0】都作为没有定义。在这样定义后,只要 μx【ƒ(u,t,x)=0】有值便必可计算。由初始函数出发,经过有穷次使用代入、原始递归式与 μ算子而作成的函数叫做部分递归函数，处处有定义的部分递归函数称为全递归函数，或一般递归函数。 原始递归函数类里还有一个重要的子类称为初等函数类,它是由非负整数与变元经过有穷次加、算术减（即｜α-b｜）、乘、算术除、叠加Σ、叠乘П而得的函数组成的类。 波兰人A.格热高契克把原始递归函数类按定义的复杂程度来分类，称为格热高契克分层或波兰分层。 要把递归函数应用于谓词，首先要定义谓词的特征函数。谓词R(x,y)的特征函数是 称谓词R 是递归谓词，若R 的特征函数是递归函数；称自然数子集A为递归集,若谓词x∈A是递归谓词。有了上述定义，就可以用递归函数来处理递归谓词和递归集。为了处理N×N（其中N 为自然数集）的子集，就要建立配对函数,所谓配对函数通常是指由N×N 到N 的一个函数ƒ(x，y)与它的逆函数g1(z)，g2(z)。它们都满足以下关系： 可以构造许多原始递归的配对函数。 递归函数也可以用来处理符号串。处理的办法是对符号及符号串配以自然数。这方法是K.哥德尔开始引进的，因此称为哥德尔配数法。例如，在要处理的符号系统｛α1，α2，α3,…｝中，可以用奇数1，3，5，7，…作为α1,α2，α3，α4，…的配数，符号串以为其配数,其中Ps是第s个素数,nij是αij的配数。这种配数称为哥德尔配数。有了哥德尔配数法，就可以用递归函数来描写、处理有关符号串的谓词了。 § 计算 数论函数的一种，其定义域与值域都是自然数集，只是由于构作函数方法的不同而有别于其他的函数。处处有定义的函数叫做全函数，未必处处有定义的函数叫做部分函数。最简单又最基本的函数有三个：零函数O（x）=0（其值恒为0）；射影函数；后继函数S（x）=x+1。它们合称初始函数。要想由旧函数作出新函数，必须使用各种算子。 代入（又名复合或叠置）是最简单又最重要的造新函数的算子，其一般形状是：由一个m元函数？与m个n元函数 g1,g2,…，gm 造成新函数 ? （g1（x1,x2,…，xn），g2（x1,x2,…，xn），…，gm（x1,x2，…，xn）），亦可记为？（g1，g2,…，gm）（x1，x2,…，xn）。另一个造新函数的算子是原始递归式。具有n个参数u1，u2,…，un的原始递归式为：（图1） 图1 具有一个参数的原始递归式可简写为：（图2） 图2 12 其特点是，不能由g、h两函数直接计算新函数的一般值？（u,x），而只能依次计算？（u,0），？（u,1），？（u,2），…；但只要依次计算，必能把任何一个？（u,x）值都算出来。换句话说?只要g,h为全函数且可计算，则新函数f也是全函数且可计算。 由初始函数出发，经过有限次的代入与原始递归式而作出的函数叫做原始递归函数。由于初始函数显然是全函数且可计算，故原始递归函数都是全函数且可计算。通常使用的数论函数全是原始递归函数，可见原始递归函数是包括很广的。但是W.阿克曼证明了，可以作出一个可计算的全函数，它不是原始递归的。经过后人改进后，这个函数可写为如下定义的阿克曼函数：（图3） 图3 3 容易看出，这个函数是处处可计算的。任给m,n的值，如果m为0，可由第一式算出；如果m不为0而n为0，可由第二式化归为求g（m,1）的值，这时第一变目减少了；如果m，n均不为0,根据第三式可先计算g（m,n-1），设为α，再计算g（m-1,α），前者第二变目减少（第一变目不变），后者第一变目减少。极易用归纳法证得，这样一步一步地化归，最后必然化归到第一变目为0，从而可用第一式计算。所以这个函数是处处可计算的。此外又容易证明，对任何一个一元原始递归函数？（x），永远可找出一数α使得？（x）<g（α，x）。这样，g（x,x）+1便不是原始递归函数，否则将可找出一数b使得g（x,x）+1<g（b,x）。令x=b，即得g（b,b）+1<g（b,b），而这是不可能的。 另一个重要的造新函数的算子是造逆函数的算子，例如，由加法而造减法，由乘法造除法等。一般，设已有函数？（u,x），就x解方程？（u,x）=t,可得x=g（u,t）。这时函数g叫做？的逆函数。至于解一般方程？（u，t,x）=0而得x＝g（u，t）可以看作求逆函数的推广。解方程可以看作使用求根算子。？（u,t，x）=0的最小x根（如果有根的话），记为μx【？（u,t,x）=0】。当方程没有根时，则认为μx【？（u,t,x）=0】没有定义。可见，即使？（u,t,x）处处有定义且可计算，但使用求根算子后所得的函数μx【？（u,t,x）=0】仍不是全函数，可为部分函数。但只要它有定义，那就必然可以计算。这算子称为μ算子。如果？（u,t,x）本身便是部分函数，则 μx【？（u,t,x）=0】的意义是：当？（u,t,n）可计算且其值为0,而x<n时？（u,t,x）均可计算而其值非0，则 μx【？（u,t,x）=0】指n；其他情况则作为无定义。例如，如果？（u,t,x）=0根本没有根，或者虽然知道有一根为n，但？（u,t,n-1）不可计算，那么 μx【？（u,t,x）=0】都作为没有定义。在这样定义后，只要 μx【？（u,t,x）=0】有值便必可计算。由初始函数出发，经过有穷次使用代入、原始递归式与 μ算子而作成的函数叫做部分递归函数，处处有定义的部分递归函数称为全递归函数，或一般递归函数。 原始递归函数类里还有一个重要的子类称为初等函数类，它是由非负整数与变元经过有穷次加、算术减（即｜α-b｜）、乘、算术除（图2）、叠加Σ、叠乘П而得的函数组成的类。 波兰人A.格热高契克把原始递归函数类按定义的复杂程度来分类，称为格热高契克分层或波兰分层。 要把递归函数应用于谓词，首先要定义谓词的特征函数（图6） 图6 。谓词R（x,y）的特征函数是（图4）： 图4 称谓词R 是递归谓词，若R 的特征函数是递归函数；称自然数子集A为递归集，若谓词x∈A是递归谓词。有了上述定义，就可以用递归函数来处理递归谓词和递归集。为了处理N×N（其中N 为自然数集）的子集，就要建立配对函数，所谓配对函数通常是指由N×N 到N 的一个函数？（x，y）与它的逆函数g1（z），g2（z）。它们都满足以下关系：（图5） 图5 可以构造许多原始递归的配对函数。 递归函数也可以用来处理符号串。处理的办法是对符号及符号串配以自然数。这方法是K.哥德尔开始引进的，因此称为哥德尔配数法。例如，在要处理的符号系统｛α1，α2，α3,…｝中，可以用奇数1，3，5，7，…作为α1,α2，α3，α4，…的配数，符号串（图7） 图7 以（图8） 图8 为其配数，其中Ps是第s个素数，nij是αij的配数。这种配数称为哥德尔配数。有了哥德尔配数法，就可以用递归函数来描写、处理有关符号串的谓词了48658 § 递归函数在C语言中的运用 分成三组： (一)， 目的：将1号和2号从A移到B 调用函数：hanoi(2,'A', 'C', 'B')。 在hanoi(2,'A', 'C', 'B')中递归调用如下： A-->C----hanoi(1,'A', 'B', 'C') A-->B----hanoi(1,'A', 'C', 'B') C-->B----hanoi(1,'C', 'A', 'B') (二)， 目的：将3号从A移到C 调用函数：hanoi(1,'A', 'B', 'C') A-->C (三)， 目的：将1号和2号从B移到C 调用函数：hanoi(2,'B', 'A', 'C') 在hanoi(2,'B', 'A', 'C')中递归递归如下： B-->A----hanoi(1,'B', 'C', 'A') B-->C----hanoi(1,'B', 'A', 'C') A-->C----hanoi(1,'A', 'B', 'C') ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 总共调用了7次函数， 只要hanoi()的第一个参数大于1，它就会在内部调用自身3次，“直到第一个参数＝1，然后调用printf()”。 hanoi(n, ...)调用hanoi(1, ...)的次数为2的n次方减去一。 【pascal语言】 function do(x:integer); begin if x<=1 then exit(0) else if x>1then exit(do(x-1)+10) end; 【C++语言】 用递归法计算1+2+。。。N的值。 #include<iostream.h> int fn(int i); void main() { int N; cout<<"\输入一个正整数:"; cin>>N; cout<<"\ 1+2+...+"<<N<<"的结果是:"<<fn(N)<<"\"; } //递归函数的定义 int fn(int i) { if(i==1) return 1; else return i+fn(i-1); } 正确写出 如何快速正确的写出递归函数？写一个递归函数是非常程式化的东西，只要按照一定的规则来写，就可以很容易地写出递归函数。写递归函数有三步： ①写出迭代公式； ②确定递归终止条件； ③将①②翻译成代码。 以求n！为例： ①写出迭代公式：n！的迭代公式为 ②确定递归终止条件：1！＝1就是递归终止条件 ③将①②翻译成代码：将迭代公式等号右边的式子写入return语句中，即return （fact（n-1））*n; 将1！＝1翻译成判断语句：if（n==1） return 1; 按照先测试，后递归的原则写出代码。 long fact（int n） { if （n==1） return 1; return （fact（n-1））*n; } 下面再举一个例子，希望能帮助大家进一步体会这一原则 写一个函数，求：f（n）=1+2+3+……+n的值 ①写出迭代公式：迭代公式为 ②确定递归终止条件：f（1）＝1就是递归终止条件 ③将①②翻译成代码：将迭代公式等号右边的式子写入return语句中，即return （Sum（n-1））+n; 将1！＝1翻译成判断语句：if（n==1） return 1; 按照先测试，后递归的原则写出代码。 long Sum（int n） { if （n==1） return 1; return （Sum（n-1））+n; } |
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