| 词条 | 罗尔定理 |
| 释义 | § 定理 如果函数f(x)满足下面的条件： （1）在闭区间【a,b】上连续； （2）在开区间(a,b)内可导； （3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0. § 证明 根据闭区间连续函数的性质，函数f(x)在区别[a,b]上必有最大值M和最小值m，即存在x1,x2∈[a,b]，使得f(x1)=M, f(x2)=m 需分成两种情况来讨论：（1）M=m （2）M≠m （1）当M=m，函数f(x)在区间[a,b]为常数M，于是其导数在区间(a,b)内为0，因此任一f'(ξ)=0; （2）当M≠m，有条件f(a)=f(b)可知，函数f(x)的最大值或最小值至少有一个在区间(a,b)内存在，不妨假设存在最大值。 即x1∈(a,b)，使得f(x1)=M，根据条件f'(x1)一定存在，并通过证明可知f'(x1)=0。 f'(x1)的三种表示 后面的两个极限不等式表明了f'(x1)只能等于0，因此f'(ξ)=f'(x1)=0。 f'(x1)的两个不等式 证明完毕■ § 罗尔定理的几何解释 罗尔定理的条件表示，曲线弧是一条连续的曲线弧 ，除端点外处处有不垂直于 轴的切线，且两端点的纵坐标相等。而定理结论表明， 弧上至少有一点 ，曲线在该点切线是水平的. |
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