| 词条 | 洛朗级数 |
| 释义 | § 洛朗级数 § 正文 包含有正的和负的方幂的幂级数在环形区域r<│z-α│<R(r≥0，R ≤+∞)内的解析函数ƒ(z)可展为如下的无穷级数 式中 ；Г是任意一个圆周│z-α│=ρ,r<ρ<R。此级数就称为函数ƒ(z)在给定圆环内的洛朗级数，也称洛朗展开式。 单值解析函数ƒ(z)在圆K内以圆心α为它的惟一的奇点的情形特别值得注意。在这种情况下，洛朗展开式除去点α外,在圆K 内的每一点z上都收敛,并代表一个在圆K内，除去圆心外，到处都解析的函数ƒ(z)。点α称为函数ƒ(z)的孤立奇点。根据单值函数ƒ(z)在孤立奇点的邻域内的洛朗展开式中负幂项的系数的不同，可把孤立奇点分为如下三类。 可去奇点 这时，函数ƒ(z)的洛朗展开式变为泰勒展开式： ；并有 。在这种情况下，函数ƒ(z)与一个在z＝α的邻域内解析的函数重合。 极点 若函数ƒ(z)的洛朗展开式中，只含有有限个(z-α)的负幂项,则称z=α为ƒ(z)的一个极点。若对于正整数m，с-m≠0，而当n>m时，с-n=0，则称z=α为ƒ(z)的m 阶极点。这时函数ƒ(z)有展开式： 设函数ƒ(z)在0<│z-α│<R（0<R ≤+∞）内是解析的，那么z=α是ƒ(z)的极点的充要条件是 本性奇点 若函数ƒ(z)的洛朗展开式中含有无穷多个(z-α)的负幂项，则称点z=α为ƒ(z)的一个本性奇点。 关于在本性奇点附近函数ƒ(z)的性质，有一个非常重要的定理，称为外尔斯特拉斯定理：设z=α为ƒ(z)的本性奇点，那么对于在任一复数w 0及任意的 ε>0、r>0，在区域0<│z-α│<r中必存在一点z0，使得 § 配图 § 相关连接 |
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