| 词条 | 整除 |
| 释义 | § 基本含义 整除是指整数a除以自然数b除得的商正好是整数而余数是零．我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”．它与除尽既有区别又有数的整除 联系．除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）．因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零．除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了．它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况． [1] § 基本概况 整数集的一个关系，初等数论最基本概念之一。对整数a，b（b≠0），若存在整数c，使a＝bc，则称b整除a，或称a，能被b整除,记作b｜a，b称为a的因数，a称为b的倍数。整除有下列基本性质：①若a｜b，a｜c，则a｜b±c。②若a｜b，则对任意c，a｜bc。③对任意a，±1｜a，±a｜a。④若a｜b，b｜a，则｜a｜＝｜b｜。对任意整数a，b，b＞0，存在唯一的整数q，r，使a＝bq＋r，其中0≤r＜b，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。若c｜a，c｜b，则称c是a，b的公因数。若d是a，b的公因数，且d可被a，b的任意公因数整除则称d是a，b的最大公因数。当d≥0时，d是a，b公因数中最大者。若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素。累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。 § 基本性质 整除有下列基本性质：①若a｜b，a｜c，则a｜b±c。（b>c） ②若a｜b，则对任意c（0除外），a｜bc。 ③对任意a，±1｜a，±a｜a。 ④若a｜b，b｜a，则｜a｜＝｜b数的整除特征 ｜。 对任意整数a，b，b＞0，存在唯一的整数q，r，使a＝bq＋r，其中0≤r＜b，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。 若c｜a，c｜b，则称c是a，b的公因数。若d是a，b的公因数，且d可被a，b的任意公因数整除则称d是a，b的最大公因数。当d≥0时，d是a，b公因数中最大者。若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素。累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数。 § 基本规律 整除规则第一条（1）：任何数都能被1整除。整除规则第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。整除规则第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。整除规则第四条（4）：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。 整除规则第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除。整除规则第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。整除规则第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。 整除规则第八条（8）：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。整除规则第九条（9）：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。整除规则第十条（10）： 若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除 。整除规则第十一条（11）：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！整除规则第十二条（12）：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。整除规则第十三条（13）：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。整除规则第十四条（14）：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。整除规则第十五条（15)：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。整除规则第十六条（16）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23整除，则这个数能被23整除。整除规则第十七条（17）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被29整除，则这个数能被29整除。整除规则第十八条（18）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被73整除，则这个数能被73整除。整除规则第十九条（19）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被137整除，则这个数能被137整除。整除规则第二十条（20）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除 。切记：0 不能做除数！ § 与除尽的关系 整除与除尽既有区别又有联系．除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）．因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零．除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了．它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况． |
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