| 词条 | 威尔逊定理 |
| 释义 | § 条件 若p为质数，则p可整除(p-1)!+1。 § 证明如下 对于偶质数2，命题显然成立； 对于奇质数，令a∈A={2,3,4.....p-2},则B={a,2a,3a,.....,(p-1)a}中不会有对于除数p同余的两个数；事实上αa,βa∈B,αa≡βa(mod p),则a|α-β|能被p整除，而a|α-β|∈B，B中的元素不可能被p除尽。于是B中被p除得的余数形成集合{1,2,3,...,p-1}. 假设b中被p除余一的数是γa: ㈠若γ=1，则γa=a，它被p除余a,所以γ=1不成立； ㈡若γ=p-1,则γa=(p-1)a,它被p除余a,所以γ=p-1不成立； ㈢若γ=a，则γa=a*a,由于a*a≡1(mod p)，故应有a*a-1=(a+1)(a-1)≡0(mod p),这只能是a=1或a=p-1,此与a∈A矛盾，故不成立； 有㈠㈡㈢知γ≠a且a∈A。 a不同时，γ也相异；若a1≠a2, a1,a2∈A,且γa1≡γa2≡1(mod p），因，γa1，γa2∈B，而B中的元素关于mod p不同余，可见a1≠a2,则γ1≠γ2。 依次取a为2,3,...,(p-1)/2;使γa≡1（mod p)的数γ分别为(p-1)/2+1,(p-1)/2+2,...,(p-1)/2, 即2*【(p-1)/2+1】≡3*【(p-1)/2+2】≡4*【(p-1)/2+3】≡...【(p-1)/2】*(p-2)≡1(mod p) 从而2*【(p-1)/2+1】*3*【(p-1)/2+2】*4*【(p-1)/2+3】*...*【(p-1)/2】*(p-2)≡1(mod p) 2*3*4*5*6*...*(p-2)≡1(mod p) 又p-1≡-1(mod p),则 (p-1)!=1*2*3*4*5*...*(p-2)*(p-1)≡-1(mod p) 从而p可整除(p-1)!+1 |
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