| 词条 | 向量外积 |
| 释义 | § 定义 把向量外积定义为： a × b = |a|·|b|·Sin<a, b>. § 方法 分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。 下面给出代数方法。我们假定已经知道了： 1）外积的反对称性： a × b = - b × a. 这由外积的定义是显然的。 2）内积（即数积、点积）的分配律： a·(b + c) = a·b + a·c, (a + b)·c = a·c + b·c. 这由内积的定义a·b = |a|·|b|·Cos<a, b>，用投影的方法不难得到证明。 3）混合积的性质： 定义(a×b)·c为矢量a, b, c的混合积，容易证明： i) (a×b)·c的绝对值正是以a, b, c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a, b, c的定向决定（右手系为正，左手系为负）。 从而就推出： ii) (a×b)·c = a·(b×c) 所以我们可以记a, b, c的混合积为(a, b, c). 由i)还可以推出： iii) (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) 我们还有下面的一条显然的结论： iv) 若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1, a2, a3，则a必为零矢量。 下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律。 设r为空间任意矢量，在r·(a×(b + c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有 r·(a×(b + c)) = (r×a)·(b + c) = (r×a)·b + (r×a)·c = r·(a×b) + r·(a×c) = r·(a×b + a×c) 移项，再利用数积分配律，得 r·(a×(b + c) - (a×b + a×c)) = 0 这说明矢量a×(b + c) - (a×b + a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即 a×(b + c) - (a×b + a×c) = 0 所以有 a×(b + c) = a×b + a×c. 证毕。 |
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