| 词条 | 互斥事件 |
| 释义 | § 简介 互斥事件 互斥事件一定是相互依赖，因而是不独立的。然而相互依赖的事件则不一定是互斥的，以气象为例，用事件A表示下雨，事件B表示无雨，事件C表示刮风，显然时间A与B是互斥的，因而也不是独立的。事件A与C虽然不互斥，但通常也是不独立而是有依赖关系的。反过来不互斥事件，可能是独立的，也可能是不独立的。关于不互斥事件相互独立的例子，可用有放回抽样来说明，A表示第一次抽到是正品，B表示第二次抽到也是正品。这两事件并不互斥，但却是独立的。 一般地，如果事件A1，A2…，An中的任何两个都是互斥的，那么就说A1，A2…，An彼此互斥。从集合的角度看， n个事件彼此互斥，是指各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交。 § 公式的应用 P(A+B)=P(A)+P(B) a是A的对立事件， P（A）=1-P（a） P(A)+P(B)不一定等于1 § 典型例题 例1. 在10000个有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中买一张奖券，求中奖的概率。 例2. 抛掷一均匀骰子，事件A表示“点数是奇数”，事件B表示“点数不超过3”，求P(A+B)。 例3. 设在一盒中有2个白球，3个黑球，其大小相同，现有放回地摸取三次，每次摸出一个球，求恰有一次摸到白球的概率。 例4. 电灯泡使用时间在1000小时以上的概率为0.2，求3个灯泡在使用了1000个小时坏了1个的概率。 例5. 如图电路图中A、B、C正常工作的概率分别为0.8、0.9、0.9，求图一、图二分别正常工作的概率P1、P2。 § 要点精析 1、互斥事件定义中事件A与事件B不可能同时发生是指若事件A发生，事件B就不发生或者事件B发生，事件A就不发生。如，粉笔盒里有3支红粉笔，2支绿粉笔，1支黄粉笔，现从中任取1支，记事件A为取得红粉笔，记事件B为取得绿粉笔，则A与B不能同时发生，即A与B是互斥事件。 2、对立事件的定义中的事件A与B不能同时发生，且事件A与B中“必有一个发生”是指事件A不发生，事件B就一定发生或者事件A发生，事件B就不发生。如，投掷一枚硬币，事件A为正面向上，事件B为反面向上，则事件A与事件B必有一个发生且只有一个发生。所以，事件A与B是对立事件，但1中的事件A与B就不是对立事件，因为事件A与B可能都不发生。事件A的对立事件通常记作A。 3、如果事件A与B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，此公式可以由特殊情形中的既是互斥事件又是等可能性事件推导得到。一般地，如果事件A1、A2、…、An彼此互斥，那么事件A1+A2+…+An发生(即A1、A2、…、An中有一个发生)的概率，等于这n个事件分别发生的概率的和，即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)。 4、对立事件是一种特殊的互斥事件。特殊有两点：其一，事件个数特殊(只能是两个事件)；其二，发生情况特殊(有且只有一个发生)。若A与B是对立事件，则A与B互斥且A+B为必然事件，故A+B发生的概率为1，即P(A+B)=P(A)+P(B)=1。 5、从集合的角度来看，事件A、B互斥，是指事件A所含的结果组成的集合与事件B所含的结果组成的集合的交集为空集，则有P(A+B)=card(A+B)／card(I)=card(A)+card(B)／card(I)=card(A)／card(I)+card(B)／card(I)=P(A)+P(B)；事件A与B对立，是指事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集，即A∩B=Φ ，且A∪B=I。 6、公式P(A+)=P(A)+P()=1的常用变形公式为P(A)=1-P()或P()=1-P(A)，在解题中会经常用到。[1] § 方法指引 基本方法是将较复杂事件表示为若干两两互斥事件的和，利用概率加法公式计算互斥事件和的概率，或当一事件的对立事件的概率易求时，将该事件概率的计算转化为对立事件的概率，简化计算。解题时应注意互斥事件或对立事件的条件是否满足。在解等可能性事件及后面将要学习的相互独立事件的概率问题中有广泛的应用。 § 特别提醒 1、要分清“互斥事件”与“等可能性事件”是两个不同的概念。在一次试验中，如果若干个随机事件中每一事件产生的可能性是完全相同的，则称这些事件为等可能性事件，而互斥事件是指不可能同时发生的两个或多个事件。等可能性事件可能也是互斥事件，互斥事件也可能是等可能性事件。如，从分别标有1，2，…，6的6个相同的小球中，任取一球，“取得1号球”，“取得2号球”，…，“取得6号球”，它们既是彼此互斥事件，又是等可能性事件。 2、注意“对立事件”与“互斥事件”具有包含关系，“互斥事件”中的事件个数可以是两个或多个，而“对立事件”只是针对两个事件而言的，两个事件对立是这两个事件互斥的充分条件，但不是必要条件。 3、解互斥事件的概率时，要注意两点： (1)仔细审题，明确题中的事件是否为互斥事件，要结合题意分析清楚事件互斥的原因； (2)要注意所求的事件，是否是几个彼此互斥事件的和。 如果不符合以上两点，就不能应用互斥事件和的概率公式解题，否则应将事件重新定义。 4、要灵活应有公式P(A+)=P(A)+P()=1的变形P(A)=1-P()或P()=1-P(A)。当直接求某一事件的概率较为复杂时，应退一步求其对立事件的概率，常常可以收到意想不到的效果。 § 应用 例1.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.24，0.28，0.19，计算这个射手在一次射击中： (1)射中10 环或 9 环的概率。(2)不够 8 环的概率。 解：（1）P=0.24+0.28=0.52； （2）P=1-(0.24+0.28+0.19)=0.29 例2．班级联欢时，主持人拟出了以下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3表示男生，4，5表示女生.将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混和，每次从中随机地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目. 1)为了取出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率. 2)为了取出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求： i）独唱和朗诵由同一个人表演的概率；ii）取出的2个不全是男生的概率. 例3．袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求： (1) 3只全是红球的概率，(2) 3只颜色全相同的概率，(3) 3只颜色不全相同的概率。 解：有放回地抽取3次，所有不同的抽取结果总数为33,3只全是红球的概率为3只颜色全相同的概率为 “3只颜色不全相同”的对立事件为“三只颜色全相同”．故“3只颜色不全相同”的概率为 “3只颜色全不相同”的事件可以分成6个互斥事件，则其概率为6÷33= 若：红球3个，黄球和白球各两个，其结果又分别如何？ |
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