库利奇大上定理

历史

九点圆证明

性质证明

复数方法证明

库利奇大上定理

九点圆（又称欧拉圆、费尔巴哈圆），在平面几何中，对任何三角形，九点圆通过三角形三边的中点、三高的垂足和顶点到垂心的三条线段的中点。九点圆定理指出对任何三角形，这九点必定共圆。而九点圆还具有以下性质：

九点圆的半径是外接圆的一半，且九点圆平分垂心与外接圆上的任一点的连线。 圆心在欧拉线上，且在垂心到外心的线段的中点。 九点圆和三角形的内切圆和旁切圆相切（费尔巴哈定理）。 圆周上四点任取三点做三角形，四个三角形的九点圆圆心共圆（库利奇－大上定理）。

历史

1765年，莱昂哈德·欧拉证明：“垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圆（六点圆）。”许多人误以为九点圆是由而欧拉发现所以又称乎此圆为欧拉圆。而第一个证明九点圆的人是彭赛列（1821年）。1822年，卡尔·威廉·费尔巴哈也发现了九点圆，并得出“九点圆和三角形的内切圆和旁切圆相切”，因此德国人称此圆为费尔巴哈圆，并称这四个切点为费尔巴哈点。库利奇与大上分别于1910年与1916年发表库利奇－大上定理“圆周上四点任取三点做三角形，四个三角形的九点圆圆心共圆。”这个圆还被称为四边形的九点圆，此结果还可推广到n边形。

九点圆证明

如图：D、E、F为三边的中点，G、H、I为垂足，J、K、L为和顶点到垂心的三条线段的中点。

容易得出、（SAS相似） 因此 同样可得出、（SAS相似） 因此 又，可得出四边形DFJL是矩形（四点共圆） 同理可证FKLE也是矩形（DKFJEL共圆） ，因此可知G也在圆上（圆周角相等） 同理可证H、I两点也在圆上（九点共圆）

性质证明

九点圆的半径是外接圆的一半，且九点圆平分垂心与外接圆上的任一点的连线。

在直角坐标系中，我们知道圆的方程式为(x − x0) + (y − y0) = r，其中r为圆的半径，(x0,y0)为圆的圆心坐标。若做圆上一点与点(xS,yS)的中点的轨迹，则此轨迹的方程式为： 设r为外接圆的半径、(x0,y0)为外接圆的圆心坐标、点(xS,yS)为垂心坐标。 已知九点圆通过顶点到垂心的三条线段的中点，故此轨迹圆就是九点圆，半径是外接圆的一半，且平分垂心与外接圆上的任一点的连线。 同时还可以得出下面的性质： 圆心在欧拉线上，且在垂心到外心的线段的中点。

九点圆和三角形的内切圆和旁切圆相切（费尔巴哈定理）。

主条目：费尔巴哈定理

圆周上四点任取三点做三角形，四个三角形的九点圆圆心共圆（库利奇－大上定理）。

复数方法证明

把原来的圆周看做复平面内的单位圆，设四个三角形的九点圆圆心为z1，z2，z3，z4，则有∣z1∣=∣z2∣=∣z3∣=∣z4∣=1。

则，△z2z3z4的九点圆圆心可表示为1/2（z2+z3+z4），

z3z4z1的九点圆圆心可表示为1/2（z3+z4+z1），

z4z1z2的九点圆圆心可表示为1/2（z4+z1+z2），

z1z2z3的九点圆圆心可表示为1/2（z1+z2+z3），

如果考察一下用1/2（z1+z2+z3+z4）表示的点，那么可以看出，从该点到上述四点的距离分别是∣1/2（z1+z2+z3+z4）-1/2（z2+z3+z4)∣=∣1/2z1∣=1/2

......

其他的同理，也为1/2，因此四点共圆。