空集的定义：不含任何元素的集合称为空集。空集的性质：空集是一切集合的子集。

简介

常见问题

公理集合论

空集的运算

空集和 0

空集的范畴论

简介

表示方法：用符号φ表示。

对任意集合 A，空集是 A 的子集；

?A: {} ? A

对任意集合 A, 空集和 A 的并集为 A：

?A: A ∪ {} = A对任意集合 A, 空集和 A 的交集为空集：?A: A ∩ {} = {}

对任意集合 A, 空集和 A 的笛卡尔积为空集：

?A: A × {} = {}

空集的唯一子集是空集本身：

?A: A ? {} ? A = {}

空集的元素个数（即它的势）为零；特别的，空集是有限的：

|{}| = 0

集合论中，两个集合相等，若它们有相同的元素；那么仅可能有一个集合是没有元素的，即空集是唯一的。

考虑到空集是实数线（或任意拓扑空间）的子集，空集既是开集、又是闭集。空集的边界点集合是空集，是它的子集，因此空集是闭集。空集的内点集合也是空集，是它的子集，因此空集是开集。另外，空集是紧致集合，因为所有的有限集合是紧致的。

空集的闭包是空集。

电脑上按住Alt,再按0216即可打出空集符号 Ø

常见问题

空集不是无；它是内部没有元素的集合，而集合就是有。这通常是初学者的一个难点。将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助；袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的。

有些人会想不通上述第一条性质，即空集是任意集合 A 的子集。按照子集的定义，这条性质是说 {} 的每个元素 x都属于 A。若这条性质不为真，那 {} 中至少有一个元素不在 A 中。由于 {} 中没有元素，也就没有 {} 的元素不属于 A 了，得到 {} 的每个元素都属于 A， 即 {} 是 A 的子集。

公理集合论

在诸如策梅罗-弗兰克尔集合论的公理集合论中，空集的存在性是由空集公理确定的。空集的唯一性由外延公理得出。

使用分离公理，任何陈述集合存在性的公理将隐含空集公理。例如：若 A 是集合，则分离公理允许构造集合 B = {x in A | x ≠ x}，它就可以被定义为空集。

空集的运算

空集（作为集合）上的运算也可能使人迷惑。（这是一种空运算。）例如：空集元素的和为 0，而它们的积为 1（见空积）。这可能看上去非常奇怪，空集中没有元素，他们是怎么相加和相乘的呢？最终，这些运算的结果更多被看成是运算的问题，而不是空集的。比如，可以注意到 0 是加法的单位元，而 1 是乘法的单位元。

空集和 0

根据定义，空集有 0 个元素，或者称其视为 0。然而，这两者的关系可能更进一步：在标准的自然数的集合论定义中，0 被定义为空集。

空集的范畴论

若 A 为集合，则恰好存在从 {} 到 A 的函数 f，即空函数。结果，空集是集合和函数的范畴的唯一初始对象。

空集只能通过一种方式转变为拓扑空间，即通过定义空集为开集；这个空拓扑空间是有连续映射的拓扑空间的范畴的唯一初始对象。

空集是任何非空集合的真子集。.Φ 只有一个子集，没有真子集。{Φ }有两个子集，一个是Φ 一个是它本身

定义：

不含任何元素的集合成为空集。

A={1,2,3,4,5} B={1,3,5} c={5,4,3,2,1}

例如，“A是B的子集”，意思是A的任何一个元素都是B的元素，即由任一 ，可以推出 ，但不能把A是B的子集解释成A是由B中部分元素所组成的集合．因为B的子集也包括它本身，而这个子集是由B的全体元素组成的．

空集也是B的子集，而这个集合中并不含有B中的元素．由此也可看到，把A是B的真子集解释成A是由B的部分元素组成的集合也是不确切的．正确的说法应该把真子集的两个特征：“A是B的子集”和“B中至少有一个元素不属于A”都指出．

“空集是任何集合的子集”这句话是正确的，但是把空集说成是任何集合的真子集就不确切．因为空集是它本身的子集．正确的说法是“空集是任何非空集合的真子集”．总之，对于概念的解释，语言表达必须确切．

再如，“ AB是A在全集B中的补集”，不能把它简单地说成 AB是A的补集，因为补集的概念是相对而言的，集合A在不同的全集中的补集是不同的，所以在描述补集概念时，一定要注明是在哪个例如，属于符号“ ”、不属于符号“ ”，它们只能用在元素与集合符号之间；包含关系“ ”“ ”、包含于（被包含）符号“ ”或“ ”，它们只能用在两个集合符号之间．对此，必须引起学生充分注意，不能用错，不要出现把 表示成 ，或 之类的错误．

又如， 是含有一个元素的集合， 是不含任何元素的集合，因此，有 ，不能写成 ， ．

关于子集与真子集的记法，教科书中采用的是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意．

关于补集，新的国家标准规定，集合A中子集B的补集或余集记为C A B ，如果行文中集合A已经很明确，则常常可以省去符号A，而记为C B．

集合中的补集，简单的说集合A的补集是没有意义的．