定义

地位(方法 证明举例：)

定义

数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时，都有|am-an|<ε成立。

地位

“柯西收敛原理”是数学分析中的一个重要定理之一，这一原理的提出为研究数列极限和函数极限提供了新的思路和方法。

方法

在有了极限的定义之后，为了判断具体某一数列或函数是否有极限，人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨。在经过了许多数学家的不断努力之后，终于由法国数学家柯西（Cauchy）获得了完善的结果。下面我们将以定理的形式来叙述它，这个定理称为“柯西收敛原理”。

定理叙述：

数列{xn}有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有一正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε成立

将柯西收敛原理推广到函数极限中则有：

函数f(x)在无穷远处有极限的充要条件是：对任意给定的ε>0，有Z属于实数，当x,y>Z时，有|f(x)-f(y)|<ε成立

此外柯西收敛原理还可推广到广义积分是否收敛，数项级数是否收敛的判别中，有较大的适用范围。

证明举例：

证明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有极限

证：对于任意的m,n属于正整数，m>n

|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |

当m-n为奇数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |

<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m

=（1/n-1/m）→0

由柯西收敛原理得{xn}收敛

当m-n为偶数时 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |

<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m

=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0

由柯西收敛原理得{xn}收敛

综上{xn}收敛，即{xn}存在极限