定义：柯西极限存在准则又叫柯西审敛原理，给出了数列收敛的充分必要条件。数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时就有

|Xn-Xm|<ε

这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，在数轴上一切具有足够大号码的点Xn中，任意两点间的距离小于ε .

正确性证明：

1..充分性证明：

充分性证明：

(1)、首先证明Cauchy列有界

取ε=1,根据Cauchy列定义，取自然数N，当n>N时有c

|a(n)-a(N)|<ε=1

由此得：

|a(n)|=|a(n)-a(N)+a(N)|<=|a(n)-a(N)|+|a(N)|<1+|a(N)|

(通俗理解，a(n)无论怎么样也大不过a(N)绝对值加1，显然根据经验这是有界的。但数学里需要严格的表达，下面因为N前的N-1个项，有最大值，所以得出了有界).

令：

M=Max{|a(1),a(2),……,|a(N)|,|a(N)|+1}

这样就证明了，对于任何n都有a(n)<=M。

所以Cauchy列有界。

（2)、其次在证明收敛

因为Cauchy列有界，所以根据Bozlano-Weierstrass定理（有界数列有收敛子列）存在一个子列aj(n)以A为极限。那么下面就是要证明这个极限A也就是是Cauchy列的极限。（注意这种证明方法是实数中常用的方法：先取点性质，然后根据实数稠密性，考虑点领域的性质，然后就可以证明整个实数域的性质了）

因为Cauchy列{a(n)}的定义，对于任意的ε>0，都存在N,使得m、n>N时有

|a(m)-a(n)|<ε/2

取子列{aj(n)}中一个j(k),其中k>N,使得

|aj(k)-A|<ε/2

因为j(k)>=k>N,所以凡是n>N时，我们有

|a(n)-A|<=|a(n)-aj(k)|+|aj(k)-A|<ε/2+ε/2=ε

这样就证明了Cauchy列收敛于A.

即得结果：Cauchy列收敛

2..必要性证明