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柯西—施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式是数学分析中经常要用到的一个不等式,在竞赛数学和高等数学中也有广泛的应用,下面介绍它的三种证明方法,从而加深对该不等式的理解,利于教学。定理(柯西-施瓦茨不等式):若a1,a2,…,an和b1,b2,…,bn是任意实数,则有(nk=1∑akbk)2≤(nk=1∑ak2)(k=n1∑bk2)此外,如果有某个ai≠0,则上式中的等号当且仅当存在一个实数x使得对于每一个k=1,2,…,n都有akx+bk=0时成立。证明1平方和绝不可能是负数,故对每一个实数x都有nk=1∑(akx+bk)2≥0其中,等号当且仅当每一项都等于0时成立。

数学上，柯西—施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式，例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。不等式以奥古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy)，赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz)，和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。

柯西—施瓦茨不等式说，若x和y是实或复内积空间的元素，那麼

<math>\\big| \\langle x,y\\rangle \\big|^2 \\leq \\langle x,x\\rangle \\cdot \\langle y,y\\rangle</math>。

等式成立当且仅当x和y是线性相关。

柯西—施瓦茨不等式的一个重要结果，是内积为连续函数。

柯西—施瓦茨不等式有另一形式，可以用范的写法表示：

<math> |\\langle x,y\\rangle| \\leq \\|x\\| \\cdot \\|y\\|\\, </math>。

证明

实内积空间的情形：

注意到y = 0时不等式显然成立，所以可假设<math>\\langle y,y\\rangle</math>非零。对任意<math> \\lambda \\in \\mathbb{R} </math>，可知

<math> 0 \\leq \\langle x-\\lambda y,x-\\lambda y \\rangle</math>

<math> = \\langle x-\\lambda y,x \\rangle - \\lambda \\langle x-\\lambda y,y \\rangle</math>

<math> = (\\langle x,x\\rangle - \\lambda \\langle x,y \\rangle)- \\lambda (\\langle x,y \\rangle - \\lambda \\langle y,y \\rangle)</math>

<math> = (\\|x\\|^2- \\lambda \\langle x,y \\rangle)- \\lambda (\\langle x,y \\rangle - \\lambda \\|y\\|^2)</math>。

现在取值<math> \\lambda = \\langle x,y \\rangle \\cdot \\|y\\|^{-2}</math>，代入後得到

<math> 0 \\leq \\|x\\| ^2 - \\langle x,y \\rangle^2 \\cdot \\|y\\|^{-2}</math>。

因此有

<math> \\big| \\langle x,y \\rangle \\big| \\leq \\|x\\| \\|y\\| </math>。

复内积空间的情形

证明类上。对任意<math> \\lambda \\in \\mathbb{C} </math>，可知

<math> 0 \\leq \\langle x-\\lambda y,x-\\lambda y \\rangle</math>

<math> = \\langle x-\\lambda y,x \\rangle - \\overline\\lambda \\langle x-\\lambda y,y \\rangle</math>

<math> = (\\|x\\|^2 - \\lambda \\overline{\\langle x,y \\rangle}) - \\overline\\lambda (\\langle x,y \\rangle - \\lambda \\|y \\|^2)</math>。

现在取值<math> \\lambda = \\langle x,y \\rangle \\cdot \\|y\\|^{-2}</math>，代入後得到

<math>0 \\leq \\|x\\|^2 - \\big| \\langle x,y \\rangle \\big|^2 \\cdot \\|y\\|^{-2}</math>，

因此有

<math> \\big| \\langle x,y \\rangle \\big| \\leq \\|x\\| \\|y\\| </math>。

特例

对欧几里得空间Rn，有

<math>\\left(\\sum_{i=1}^n x_i y_i\\right)^2\\leq \\left(\\sum_{i=1}^n x_i^2\\right) \\left(\\sum_{i=1}^n y_i^2\\right)</math>。

对平方可积的复值函数，有

<math>\\left|\\int f^*(x)g(x)\\,dx\\right|^2\\leq\\int \\left|f(x)\\right|^2\\,dx \\cdot \\int\\left|g(x)\\right|^2\\,dx</math>。

这两例可更一般化为赫尔德不等式。

在3维空间，有一个较强结果值得注意：原不等式可以增强至等式

<math>\\langle x,x\\rangle \\cdot \\langle y,y\\rangle = |\\langle x,y\\rangle|^2 + |x \\times y|^2</math>。

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