在泛函分析中，开映射定理是一个基本的结果，它说明如果巴拿赫空间之间的连续线性算子是满射的，那么它就是一个开映射。更加精确地(Rudin 1973, 定理2.11):该定理的证明用到了贝尔纲定理，X和Y的完备性都是十分重要的。如果仅仅假设X或Y是赋范空间，那么定理的结论就不一定成立。然而，如果X和Y是弗雷歇空间，那么定理的结论仍然成立。

结果

证明

推广

参考文献

目录
[隐藏]
1 结果 2 证明 3 推广 4 参考文献

结果

开映射定理有一些重要的结果：

如果A : X → Y是巴拿赫空间X和Y之间的双射连续线性算子，那么逆算子A : Y → X也是连续的。(Rudin 1973, 推论2.12) 如果A : X → Y是巴拿赫空间X和Y之间的线性算子，且如果对于X内的每一个序列(xn)，只要xn → 0且Axn → y就有y = 0，那么A就是连续的（闭图像定理）。(Rudin 1973, 定理2.15)

证明

我们需要证明，如果A: X → Y是巴拿赫空间之间的连续线性满射，那么A就是一个开映射。为此，只需证明A把X内的单位球映射到Y的原点的一个邻域。

设U，V分别为X和Y内的单位球。那么X是单位球的倍数kU的序列的交集，k ∈ N，且由于A是满射，

根据贝尔纲定理，巴拿赫空间Y不能是可数个无处稠密集的并集，故存在k > 0，使得A(kU)的闭包具有非空的内部。因此，存在一个开球B(c, r)，其中心为c，半径r > 0，包含在A(kU)的闭包内。如果v ∈ V，那么c + rv和c位于B(c, r)内，因此是A(kU)的极限点，根据加法的连续性，它们的差rv是A(kU) − A(kU) ⊂ A(2kU)的极限点。根据A的线性，这意味着任何v ∈ V都位于A(δU)的闭包内，其中δ = r/(2k)。于是可以推出，对于任何y ∈ Y和任何ε > 0，都存在某个x ∈ X，满足：

且 固定y ∈ δV。根据(1)，存在某个x1，满足||x1|| < 1且||y − Ax1|| < δ/2。定义序列{xn}如下。假设：

且 根据(1)，我们可以选择xn+1，使得：

且 因此xn+1满足(2)。设

从(2)的第一个不等式可知，{sn}是一个柯西序列，且由于X是完备的，sn收敛于某个x ∈ X。根据(2)，序列Asn趋于y，因此根据A的连续性，有Ax = y。而且：

这表明每一个y ∈ δV都属于A(2U)，或等价地，X内的单位球的像A(U)包含了Y内的开球(δ/2)V。因此，A(U)是Y内0的邻域，定理得证。

推广

X或Y的局部凸性不是十分重要的，但完备性则是：当X和Y是F空间时，定理仍然成立。更进一步，这个定理可以用以下的方法与贝尔纲定理结合(Rudin, 定理2.11)：

设X为F空间，Y为拓扑向量空间。如果A : X → Y是一个连续线性算子，那么要么A(X)是Y内的贫集，要么A(X) = Y。在后一个情况中，A是开映射，Y也是F空间。 更进一步，在这个情况中，如果N是A的核，那么A有一个标准分解，形如下式：

其中X / N是X对闭子空间N的商空间（也是F空间）。商映射X → X / N是开放的，且映射α是拓扑向量空间的同构(Dieudonné, 12.16.8)。

参考文献

Rudin, Walter (1973), Functional Analysis, McGraw-Hill, ISBN 0-07-054236-8 Dieudonné, Jean (1970), Treatise on Analysis, Volume II, Academic Press 本文含有从 PlanetMath 上的 Proof of open mapping theorem 来的材料，版权遵守 知识共享 署名-相同方式共享 协议。