在数学上，卡瓦列利以他的不可分量方法而闻名。这个方法的基本思想是：线是有无穷多个点构成的，面是由无穷多条线构成的，立体是由无穷多个平面构成的。点、线、面分别就是线、面、体的不可分量。在《几何学》第7卷定理1，卡瓦列利通过比较两个平面或立体图形的不可分量之间的关系来获得这两个平面或立体图形的面积或体积之间的关系，这就是著名的卡瓦列利定理（又称卡瓦列利原理）。

直线

平面

中学数学试验教材

直线

夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条直线的任意直线所截，如果所得的两条截线长度相等，那么，这两个平面图形的面积相等；

平面

夹在两个平行平面之间的两个立体图形，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果所得的两个截面面积相等，那么，这两个立体图形的体积相等。

卡瓦列利将定理中的相互比较的两个平面或立体图形称为“类比图”（analogues）。他首先证明定理的第一部分，即两个平面类比图面积相等。

如图3-1-1所示。设夹在两平行线PQ、RS之间有两个平面图形ABC和XYZ.其中不妨设ABC有一空的部分FfGg。任作两条平行于PQ、RS的直线DN、OU，DN截两图所得的截线分别为JK和LM，JK=LM；OU截ABC得两条截线段EF和GH,截XYZ得截线段TV，EF+GH=TV。

沿PQ、RS平移图形ABC，将它叠置于图形XYZ之上（图中A与X两点重合）。如果ABC与XYZ完全重合，那么显然它们的面积相等；如果ABC于XYZ不完全重合，那么ABC的某一部分XLhTYC¢M与XYZ的一部分XLhTYC¢M重

合。显然，ABC的截线EF、GH在ABC平移之后仍在直线OU上，故E¢F¢、TH¢与TV仍在同一直线上。由假设，E¢F¢+TH¢=EF+GH=TV,因此E¢F¢=H¢V.而E¢F¢和H¢V分别在图形ABC和XYZ和彼此不重合的部分LB¢YTF¢和MC¢Z,Thg（分别称为ABC和XYZ的剩余图形）中。可见，当图形ABC有一部分不与XYZ重合时，图形XYZ必剩余某一部分不与ABC重合。

由于对于ABC的剩余图形中的任一平行于PQ,RS的截线段，相应地在XYZ的剩余图形中都有一条与之共线的截线段（如果剩余图形有若干部分，则截线可能不止一条），因此ABC与XYZ的剩余图形必夹在同样的两条平行线之间。又因为它们中的对应截线段相等（E¢F¢=H¢V），因此ABC、XYZ的剩余图形满足ABC和XYZ所满足的条件，他们仍为类比图。

然后，沿RS平移ABC的剩余图形LB¢YTF¢，将它叠置于XYZ的剩余图形之上，使其一部分VB¢¢Z与MC¢Z的一部分VB¢¢Z重合。则和前面一样可证明其中一个有剩余图形时，另一个必有剩余图形，这些剩余图形夹在同样的两条平行线之间，并且对应截线段相等。设L¢VZY¢G¢¢F¢¢是LB¢YTF¢的剩余图形，而MC¢B¢¢V，Thg为MC¢Z，Thg的剩余图形，则他们是夹在DN、RS之间的类比图。然后再沿RS平移L¢VZY¢G¢¢F¢¢，将它叠置于MC¢B¢¢V和Thg上。不难理解，同样的步骤可以不断进行下去，直到整个图形ABC被叠置完。根据前面的证明，此时XYZ也不再有剩余图形了。这样，ABC于XYZ的部分图形相继重合，直到最后所有部分均重合。从而ABC与XYZ面积相等。

若将上述证明中的ABC和XYZ改为立体图形，截线相应改为截面，则同样可以证明定理的第二部分，即两立体类比图体积相等。

中学数学试验教材

卡瓦列利运用上述定理求得了许多平面图形的面积和立体图形的体积，其中包括球体积。中学数学试验教材之前的很长时间里，我国的立体几何教材一直采用卡瓦列利的方法来推导球体积公式。