卡特兰数又称卡塔兰数，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。

卡特兰数

英文

原理

卡特兰数的应用(括号化 出栈次序 凸多边形三角剖分 给定节点组成二叉树)

卡特兰数的扩展

卡特兰数

前几项为 （OEIS中的数列A000108）: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

英文

Catalan数列

原理

令h(1)=1,h(2)=1，catalan数满足递归式：

例如：h(3)=h(1)*h(2)+h(2)*h(1)=1*1+1*1=2

h(4)=h(1)*h(3)+h(2)*h(2)+h(3)*h(1)=1*2+1*1+2*1=5

另类递归式：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

该递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

卡特兰数的应用

实质上都是递归等式的应用

括号化

矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

出栈次序

一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

分析

对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。

在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。

不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。

反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。

因而不合要求的2n位数与n+1个0，n－1个1组成的排列一一对应。

显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出 输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)。

（这个公式的下标是从h(0)=1开始的）

类似问题

有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

凸多边形三角剖分

求将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数。

类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

给定节点组成二叉树

给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？

（能构成h（N）个）

（这个公式的下标是从h(0)=1开始的）

卡特兰数的扩展

对于在n位的2进制中，有m个0，其余为1的catalan数为：C（n,m）-C(n,m-1)。证明可以参考标准catalan数的证明。