在泛函分析中，卷积(卷积)、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表徵函数f 与经过翻转和平移与g 的重叠部分的累积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。

基本内涵

定义(快速卷积算法 多元函数卷积)

性质

卷积定理

在群上的卷积

应用

基本内涵

简单介绍卷积是分析数学中一种重要的运算。设: f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分（如右图）：

可以证明，关于几乎所有的实数x，上述积分是存在的。这样，随着 x 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f 与g 的卷积，记为h(x)=(f*g)(x)。容易验证，(f * g)(x) = (g * f)(x)，并且(f * g)(x) 仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）1空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。

卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。

由卷积得到的函数f*g 一般要比f 和g 都光滑。特别当g 为具有紧致集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积f * g 也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f 的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。

卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。

定义

函数f与g的卷积记作，它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的积分，是一个对平移量的函数。

积分区间取决于f与g的定义域。

函数f与g的卷积可以定义为： z(t)=f(t)*g(t)= ∫f(m)g(t-m)dm.

对于定义在离散域的函数，卷积定义为

快速卷积算法

当 是有限长度 N，需要约 N^2次运算。藉由一些快速算法可以降到 O(Nlog N) 复杂度。

最常见的快速卷积算法是藉由圆周摺积利用快速傅里叶变换。也可藉由其它不包含 FFT 的做法，如数论转换。

多元函数卷积

按照翻转、平移、积分的定义，还可以类似的定义多元函数上的积分：

性质

各种卷积算子都满足下列性质：

交换律 结合律 分配律 数乘结合律 其中a为任意实数（或复数）。

微分定理 其中Df 表示f的微分，如果在离散域中则是指差分算子，包括前向差分与后向差分两种：

前向差分： 后向差分：

卷积定理

卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。

其中表示f 的傅里叶变换。

这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。

利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2n - 1组对位乘法，其计算复杂度为；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。

在群上的卷积

若G 是有某m测度的群（例如豪斯多夫空间上Harr测度下局部紧致的拓扑群），对于G 上m-勒贝格可积的实数或复数函数f 和g，可定义它们的卷积：

对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质，但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析的Peter-Weyl定理。

应用

卷积在工程和数学上都有很多应用：

统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。 概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。 声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。 电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。 物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。

介绍一个实际的概率学应用例子。假设需求到位时间的到达率为possion(λ)分布，需求的大小的分布函数为D（.)，则单位时间的需求量的分布函数为 F(x)：

其中 D(k)(x)为k阶卷积。

卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。castlman的书对卷积讲得很详细。

高斯变换就是用高斯函数对图像进行卷积。高斯算子可以直接从离散高斯函数得到：

for(i=0; i<N; i++)

{

for(j=0; j<N; j++)

{

g[i*N+j]=exp(-((i-(N-1)/2)^2+(j-(N-1)/2)^2))/(2*delta^2));

sum += g[i*N+j];

}

}

再除以 sum 得到归一化算子

N是滤波器的大小，delta自选

首先，再提到卷积之前，必须提到卷积出现的背景。卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的，脱离这个背景单独谈卷积是没有任何意义的，除了那个所谓褶反公式上的数学意义和积分（或求和，离散情况下）。

信号与线性系统，讨论的就是信号经过一个线性系统以后发生的变化（就是输入 输出 和所经过的所谓系统，这三者之间的数学关系）。所谓线性系统的含义，就是，这个所谓的系统，带来的输出信号与输入信号的数学关系式之间是线性的运算关系。

因此，实际上，都是要根据我们需要待处理的信号形式，来设计所谓的系统传递函数，那么这个系统的传递函数和输入信号，在数学上的形式就是所谓的卷积关系。

卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理 中的卷积定理。利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。