一，来源(（一），在平面中，4个或者4个以下的区域)

（二），在一个轮胎形状的环面的表面

（三），在有2个洞的双环面

（四）在有三个洞的曲面上

五）亏格为4时(有10个两两相连区域（图5）)

（六）亏格5时11个区域两两相连

七）亏格7时有12个区域两两相连

一，来源

1974年，德国数学家林格和美国数学家杨斯证明了，在曲面上作图，有以下定理：

Mp=[（7+√1+(48p)）/2]

,(参见《图论导引》214页，机械工业出版社；人民邮电出版社258页)

其中[X]表示整数部分，p表示洞的个数。

（一），在平面中，4个或者4个以下的区域

可以构成两两相连的区域，可以一笔划。

图（1）。每个区域必须是单连通的，就是一个区域不能够是分成2块或者2块以上。这是著名的四色猜想。大家知道，平面上不可能有两两相通的5个区域。

（二），在一个轮胎形状的环面的表面

7个或者7个以下的区域可以构成两两相连的区域。可以“一笔划”。

图（2）（右则）上下对折以后，再左右对折，形成一个轮胎状，7个区域两两相连（国外数学家给出）.两两相连的区域可以不经过其它区域到达任何一个区域。P。J希伍德以毕生精力研究四色定理，并且证明了5色定理，稀伍德考察了一般曲面着色问题提出一个推测：在有P>1个洞的封闭曲面上，足以为任何地图着色的最小数等于

M1=[（7+√1+(481)）/2]=7。其中[X]表示整数部分，即图（2).

（三），在有2个洞的双环面

有8个区域两两相连（图3）

例如，两个洞的封闭曲面应该是M2=[7+√1+(48×2)/2]=8,能够作8色。（见图3右下图）王晓明王蕊珂经过9年完成。

注意，研究两两相连区域是因为网络战争的需要。在一个两两相连的枢纽，交通是不会堵塞的。

（四）在有三个洞的曲面上

有9个区域两两相连（图4）

是在图2的基础上加上一个三叉，下图三叉对应上图的相应位置，就是一个方向盘形状的亏格3的9个两两相连区域参见图5，N3=[(7+√1+48×3)/2]=9，王晓明设计。

五）亏格为4时

有10个两两相连区域（图5）

参见图5：

在图2的基础上，上图上下对折，再左右对折成为一个轮胎形状，下图四叉按照ABCD位置对应上图，就是一个有4个洞的10个两两相连区域参见图6,因为林格证明N4=[(7+√1+48×4)/2]=10，王晓明完成。

（六）亏格5时11个区域两两相连

（图6）

参见图7，下面图上下对折再左右对折形成一个轮胎，有7个区域两两相连，把上面的五叉按照ABCD对应安装上去，就是一个有11个区域两两相连。林格1974年证明，N5=[(7+√1+48×5)/2]=11。王晓明设计，湖南李恒嘉安装。

七）亏格7时有12个区域两两相连

N7=[(7+√1+48×7)/2]=12，参见图7，右上图是外环平面图，有6个区域两两相连，先上下对折，再左右对折，左右对折时一段轻轻扭转，使得1对着5,2对着6,3对着4。右下图和左下图是内环，上下对折再左右对折形成一个轮胎形状，左右对折时一端轻轻扭转，使得7对折11,8对着12,9对折10。外部有6根柱子与外环相连，形成一个有7个洞的12个区域两两相连，王晓明完成。

（八），可以构造任意多个两两相连区域。

有无穷多个区域两两相连，与有无穷多个素数两两互素，我们可以把图论与数论联系起来。用数论已经图论，或者反之。