内容

证明

内容

已知：一凸四边形ABCD，E,F,G,H,I,J,K,L分别为其四边上的三等分点

求证：四边形PQRS的面积为四边形ABCD面积的1/9

证明

张景中院士一本《新概念几何》中给出了证明，但是用到到了定比分点公式（不是解析几何那个），这里将证明简化一下： 证明分两步，如下：

第一步：证明四边形LKHG面积为四边形ABCD面积的1/3

连接BL,BD,HL,HD

∵AL=LK=KD=1/3AD

∴LD=2/3AD

∴S△BDL=2/3*S△ABD ……(1)

同理S△BDH=2/3*S△BCD ……(2)

（1）+（2）得：

四边形BLDH面积=S△BDL+S△BDH

=2/3*S△ABD +2/3*S△BCD

=2/3（△ABD +S△BCD）

=2/3四边形ABCD面积

∵LK=KD=1/2LD

∴S△LKH=1/2*S△LDH

同理S△LGH=1/2*S△BLH

∴四边形LKHG面积=S△LKH+S△LGH

=1/2*S△LDH+1/2*S△BLH

=1/2*四边形BLDH面积

=1/2*2/3*四边形ABCD面积

=1/3四边形ABCD面积

第二步：证P,R,Q,S是GL,HK的三等分点

由三等分点知：BF=1/3AB,BG=1/3BC

∴FG∥AC，FG=1/3AC

同理LI∥ACLI=2/3AC

所以FG∥LI，FG=1/2LI

∴△ILP∽△FGP=>PI=2FP,PL=2PG

∴P为GL三等分点

同理可证Q,R,S为三等分点

所以四边形PQRS面积=1/3*四边形GHLK面积=1/9四边形ABCD面积

证毕。