简介

应用

简介

紧致性定理定义:

1）在一阶逻辑中，如果我们有一个公式集合(记作) Δ 并且 Δ是一个不满足式的公式集合,那么 Δ 至少有一个有限个数元素的子集(记作) Δ' (Δ'∈Δ) 并且 Δ' 也是不满足式的集合

我们注意到:

2)(换一句话说),如果我们有一个公式集合(记作) Δ 并且 Δ是一个可满足式的公式集合,那么对于所有 Δ 有限个数元素的子集(记作) Δ' (Δ'∈Δ) , Δ' 也是可满足式的集合

3)(换一句话说),前提假设我们有一个子句(Clause)集合(记作) S ，并且 S 中的所有子句是封闭的(Clause Fermee,也就是说子句中不含有变量),如果 S 是不可满足式的子句集合，当且仅当 S 至少有一个子集合 S' ，S' 是有限集合并且 S' 是不可满足的集合

我们注意到:

在3)中我们把公式集合 Δ 转化成子句集合 S,(根据定理:ΔSAT〈==〉Clause（Δ）SAT )，我们说 Δ 的可满足性和转化成的子句集合 S 的可满足性是等价的

应用

模型论中的一条基础性的定理。在一阶模型论中，该定理的含义是：如果一阶语言中一个命题集（形式理论）T的任何有限子集都有模型，则T自身有模型。在非一阶模型论中，紧致性定理不一定成立，但有时有较弱的结论或能起类似作用的定理。

根据紧致性定理证明T有模型，只需证明T的每一有限子集都有模型,而证明后者往往比直接证明T有模型要容易得多，这就是该定理之所以能在模型论以及其他一些数学分支中起重要作用的主要原因。例如，非标准分析是数学中一个新分支，它是建立在这样的有序域垬之上的，即垬和实数域R具有十分类似的普通性质,但垬中含有很多互不相等的无限小元及无限大元，这样的垬用普通数学方法是难以构作的，但其存在性则可以用紧致性定理证明。因为，利用垬中的无限小元，可以避开通常的"ε-δ"方式，而用比较自然但又严格的方式定义R中数列的极限概念及函数的连续性概念等，进而也可以比较简便地讨论各种分析数学问题，这就是非标准分析。它是模型论、特别是其中的紧致性定理对于数学的一个既有数学意义又有方法论意义的重要应用。在代数中，利用紧致性定理可以得到一些逻辑性的"转移原理"。例如:设ψ是一个关于群的一阶命题,若ψ对于每个无限群都真,则ψ也对每个元数相当大的有限群为真。对其他代数结构，如环、域等，也有类似的"转移原理"。又如：设ψ是一个关于域的一阶命题。若ψ对于每个特征数零的域都真,则ψ也对每个特征数P相当大的域为真,等等。这些原理，都是难以用普通数学方法证明的。

紧致性定理也可用于探讨一些数学命题间的和谐性、独立性问题，例如可以用它证明数论中一些待解问题相对于自然数一阶理论的一些较弱子理论的和谐性或独立性。