晶界上由于原子（离子）间结合键的变化及结构畸变，界面将存在着比体内高的剩余能量，这就是界面能。晶界上两个晶粒的质点排列取向有一定的差异，两者都力图使晶界上的质点排列符合于自己的取向，当达到平衡时，晶界上的原子就形成某种过渡的排列，显然，晶界上原子排列的结构缺陷集中，这给晶界带来了不同于晶粒的一些特殊性质。

界面结构

多晶体的性质不仅由晶粒内部结构和它们的缺陷所决定，而且还与晶界结构、所占比例等因素有关。图6-18表示多晶体中晶粒尺寸与晶界所占体积分数的关系。显然当晶粒很小时，晶界的影响不可忽视。

如同表面结构，

界面的空间表示 构成晶界的两个相邻晶粒的相对取向对晶界结构有重要的影响。如何确定两个晶粒的相对取向，首先考虑一个坐标系中原来位向一致的两个晶粒，沿着坐标系中的某一旋转轴u互相旋转一个角度θ的情况。在一个三维坐标系中，u轴取向的确定需要2个变量，即u轴的3个方向余弦中的任意2个，这样u轴的2个方向余弦和θ共同决定了两晶粒的相对取向，即共需3个自由度。对于位向不一致的两个晶粒，晶界相对其中一个晶粒的位向可用该晶界面的法线n来描述，这样n在坐标系中的方向确定又需要2个自由度。因此，从几何上描述一个晶界的空间方位最多需要5个自由度。

小角晶界及界面能

根据相邻晶粒取向角的大小，可将晶界分为小角晶界和大角晶界。当两晶粒取向的位向差小于10°时称小角晶界，超过10°归于大角晶界。小角晶界一般又分为倾转晶界和扭转晶界，前者由一系列刃位错组成，后者由螺位错组成。

（1）对称倾转晶界

对称倾转晶界可以看作是取向一致的两个晶体相互旋转 角形成的界面，如图6-20 (a)。它可用一系列平行的刃位错来描述，如图6-21所示。图中n = [100]，u = [001]，还有一个变量 。前章已介绍，位错间距D与柏氏矢量b的关系为：

（6-36）

当 很小时，sin（ /2）≈ /2，于是：

D = b/ （6-37） 由上式可看出， 较大时D就会变得很小，致使位错中心发生重叠，因此该模型不适于描述大角晶界。

（2）不对称倾转晶界

如果倾转晶界的界面是任意的(h k 0)面，这种非对称的晶界就需要用柏氏矢量分别为[100]及[010]的两组平行的刃位错来表示。设(h k 0)面和[100]方向的夹角为 (图6-22)，则沿AC单位距离内两种位错的数目分别为： （6-38） （6-39）

于是两组位错的间距分别为：

（6-40）

（6-41）

（3）扭转晶界

如果旋转轴垂直于晶界平面，即u∥n，就形成扭转晶界，图6-23所示是以[001]方向为旋转轴的扭转晶界位错模型。由图看出，晶界两侧的原子位置一部分是重合的，另一部分是不重合的，不重合的部分形成了螺位错。整个扭转晶界就是由两组交叉的螺位错构成的网格，一组是平行于[100]轴向，另一组平行于[010]方向，网格的间距D也满足：

D=b∕ （6-42）

纯的倾转晶界和扭转晶界是晶界模型的两种特殊形式。对一般的晶界，旋转轴和晶界可以有任意的取向关系，需要用5个自由度才能将晶界完全确定，描述将更为复杂。 （4）小角晶界晶界能

按照小角晶界结构的位错模型，相应的界面能应是晶界上所有位错的总能量。对简单倾转晶界，界面能是一系列同号位错产生的位错应变能。我们已经知道单位长度的刃位错能量可表达为：

（6-43）

式中：G为剪切模量，b为柏氏矢量，ν为泊松比，Ec为位错中心能量，D为位错间距。设同号刃位错之间不存在在滑移矢量方向上的交互作用，每个位错上方存在压应力，下方存在拉应力，即晶界存在交替的压缩和拉伸区域，在半径为D的圆周以外，位错的应力场彼此抵消，亦即上式中取位错应力场的极限距离为D，对应单位长度上晶界的位错密度为1/D（ = /b），则晶界单位面积界面能γgb与相应位错能量的关系为：

（6-44）

或写成 （6-45）

式中： ； 。以γgb/ —ln 作图，直线的斜率即为－γ0，截距为γ0A。然后再以γgb－ 作图，得到的曲线具有 以下几个特点：

① 当 = 0， ln →0，代人式(6-44)得到γgb= 0。

② 斜率dγgb/d = γ0(A－1－ln )，若 =0，则斜率为无穷大；随 增加斜率减小。

③ 若γgb的最大值(γgb)m对应的 为 ，则有：

dγgb/d = 0 = γ0 (A－1－ln ) = exp(A－1) (6-46)代入式(6-45)得到 (6-47) 上式表达了界面能与取向角之间的理论关系。研究表明，所得理论曲线与实验测定吻合的较好。以Cu为例的研究结果示于图6-24，图中也示出了其它晶界模型的取值情况。由图看出，对小角晶界模型，上述关系只能在10°以内符合，超出10°后计算值（虚线）与实验值(实线)不再符合。

以上公式对扭转晶界也适用，但与位错能相关的系数 和A值会不同。

大角晶界及界面能

（1）大角晶界

早期的大角晶界模型是皂泡模型，认为晶界由大约3～4个原子间距厚的区域组成，晶界层内原子排列较差，具有比较松散的结构，原子间的键被打断或被严重扭曲，具有较高的界面能量。此外早期也曾提出另两种模型：一是过冷液体模型，认为晶界层中的原子排列接近于过冷液体或非晶态物质，在应力的作用下可引起粘性流动，但发现只有认为晶界层很薄(不超过两三个原子厚度)时才符合实验结果；第二个模型是小岛模型，认为晶界中存在着原子排列匹配良好的岛屿，散布在排列匹配不好的区域中，这些岛屿的直径约数个原子间距，用小岛模型同样也能解释晶界滑动的现象。

理论上，大角晶界可以分为特殊大角晶界和任意大角晶界两类。特殊大角晶界的能量比任意大角晶界低，亦即当在某些特殊取向角下，晶界上相邻的点阵匹配的较好，此时晶界表现出较低的能态。

最简单的特殊大角晶界是共格晶界。如果界面上的原子正好位于两晶体的晶格结点上，就形成了共格晶界；当两个晶粒的取向互为对称时，就形成了共格孪晶界，如图6-25(a)所示。对于孪晶界，如果不是精确地平行于孪晶面，如图6-25(b)所示，界面上的原子将不能和它邻接的两个晶粒很好地匹配，这种界面称为非共格孪晶界。

（2）界面能

大角晶界具有较高的能量，并且基本上不随位向差而改变，见图6-24。关于大角晶界的晶界能 ，研究表明一般实验测得值大约为表面能 的1/3。

①任意大角晶界能

实验上晶界能 一般采用图6-26所示的热蚀法测定，即在高温下长时加热，使之达到平衡状态，然后测定二面角，从下式平衡关系：

γgb-2γcos（θ/2）= 0 (6-48)得到 。如同表面能一样，γgb的大小也是与结合键的削弱有关，同样可与升华热建立联系，也具有负的温度系数，即随温度的升高γgb是降低的。

②特殊大角晶界能

共格孪晶界：共格孪晶界是一种具有孪晶关系的两个晶体间的对称倾转晶界。由于共格孪晶界的原子基本上处于无畸变的状态，所以相对于任意大角晶界来说，共格孪晶界的能量非常低。图6-24中示出Cu的共格孪晶界能仅为21mJ/m2。

非共格孪晶界：由于界面上的原子不能很好地和它相邻的两个晶粒匹配，会导致界面能升高。表6-8列出一些晶体晶界能的实验测量值，其中Cu的非共格孪晶界能为498mJ/m2。此外，孪晶界面能对于晶界面的取向非常敏感，若作 与晶界取向的函数关系，在共格孪晶界位置会出现一个尖锐的极小值点（图6-27）。

共格界面理论

在共格界面理论中，主要分为共格界面、半共格界面和非共格界面三种类型。 （1）共格界面 界面质点同时处于两点阵的结点上，将构成共格界面，其界面模型如图6-28所示。实际上，晶体结构内部的质点都有最适宜的近邻排列而处于低能状态。但在界面上，每个质点需同时与两侧晶体表面质点进行键合，其中点阵位置的不一致性会增加界面原子的能量，产生界面能中的化学分量(γ化学)，其大小与点阵位置不一致的程度有关。对于共格界面，这是唯一的附加能量γ共格 = γ化学。当界面上的原子间距差别不大，界面上点阵是能够通过一定的畸变保持共格的，如图6-29所示。相应引起的点阵扭曲 ，称为共格畸变或共格应变。一个典型的例子是氢氧化镁加热分解成氧化镁Mg(OH)2 －→MgO+H2O，就易形成这样的界面(图6-30)。 （2）半共格界面 对于半共格界面，需要引进点阵失配度的概念。点阵失配度δ定义为： (6-49)式中：a 和aβ分别是α和β相无应力状态的点阵常数。研究已表明，界面上的附加能量是与δ2成正比，相应二者的关系示于图6-31。当δ较小（<0.05）时，能形成共格界面。对于较大的原子失配度(0.05≤δ≤0.25)，从能量角度而言，以半共格界面代替共格界面有时能量会更低。在半共格界面上，它们的不匹配可由刃位错周期地调整补偿（图6-32）。对于上部的晶体，每单位长度需要附加的半晶面数 ，即位错间距： （6-50） 对于小的δ，可以近似地写成： (6-51)式中：b是柏氏矢量，b=（a + a ）/2。对于半共格界面模型，可以认为在界面上除了位错心附近外，其他位置几乎完全匹配，在位错心附近的结构是严重扭曲并且点阵面是不连续的。实际上，失配通常是二维的，在这种情况下，若界面包含两组不平行的间距分别为 和 的位错列，如图6-33所示，则共格应变场可能被完全松弛。 半共格界面的界面能可以近似地认为由两部分组成：一项是共格界面的化学项γ化学，另一项是结构项γ结构，它是由失配位错产生的结构扭曲而引起的额外能量，于是： γ半共格 = γ化学+γ结构 (6-52) 根据布鲁克(Brooks)的理论，晶格畸变能W可用下式表示： （6-53）式中：δ为失配度， 是柏氏矢量，G是剪切模量， 是泊松比， , r0是与位错线有关的一个长度。根据(6-53)式计算的晶界能与δ的关系如图6-31中的虚线所示。由图可见，当形成共格晶界所产生的δ增加到一定程度(a与b的交点)，再继续共格连接，所产生的弹性应变能将大于引入位错的能量增加，这时以半共格相连在能量上会更低。（3）非共格界面 当点阵失配度较大，如δ = 0.25，则每隔4个面间距就有一个位错，从而导致位错心周围失配的区域重叠。因此，结构上相差很大时就不可能形成共格晶界或半共格晶界，而相邻晶体间必有畸变的原子排列，这样的间界就是非共格晶界。一般的说，两种任意取向的晶体沿任意面结合时就可能得到非共格界面，如图6-34所示。 非共格界面的结构描述将更为复杂，但它们和大角晶界结构仍有许多共同的特征，例如，它们的能量都很高(大约在500-1000mJ/m2)，界面能对界面取向都不敏感等。

晶界结构模型

（1）重合位置点阵(CSL)模型 重位点阵又称相符点阵，如图6-35所示。图中假定在面心立方晶体中两相邻的平行晶面绕[111]轴相对旋转21.8°，网A和网B在(111)面上的原子排列分别以小空心圆和小实心圆表示，相对旋转后位于两个网上的重合位以大空心圆表示，可以看到，这些重合位也构成了一个相似于网A或网B的六角形网，但原子间距变大。通过直接查数已确定出重合位的数量是网A或网B的1/7，该值称为重合位密度，其倒数称为倒易密度，用希腊字母Σ表示。 重位点阵可以用4个基本参数来描述，即旋转轴[hkl]；绕轴的旋转角θ；重位网上的一个重合点在（hkl）面上的坐标(x，y)；倒易密度Σ（最小奇数）。这4个参数并不是完全独立的，存在下列的关系： (6-54) (6-55) (6-56) 现举例说明上述关系式的应用。考虑一个简单立方点阵绕[100] 轴旋转的情况，如图6-36所示。图中为(100)平面，x和y轴分别为[010]和[001]，轴单位是简单立方晶胞的边长。点阵绕[100]旋转一角度 后，x、y轴分别占据x′、y′轴位置。因为旋转轴是[100]，得N =1。若取x = 2，y = l就可以得到 = 2arctan(1/2) = 53.1°， =22+12(1) = 5的一个重位点阵。在图6-36中，x、y坐标下的原子是实心圆，x′、y′坐标对应的原子是空心圆，重位是大空心圆。由此看出重位点阵的晶胞在(100)面上的边长为 ，a是原点阵的点阵常数。 如果取x=3，y=1，旋转轴仍是[100]，就会得到另一个重位点阵，如图6-37所示。此时 = 2arctan(1/3) = 36.9°，Σ=32+12(1)=10，在立方点阵中Σ只能取奇数，因此Σ的正确值是10÷2 = 5。这一点阵与x = 2，y = 1的重位点阵是相同的。由此可看出，同一点阵可以通过旋转53.1°或36.9°得到，二角之和为90°。这一结果与立方晶系[100]轴的四次对称有关。

倾转界面也可用重位的概念去描述。一个倾转晶界可以通过一个晶体的两部分相对旋转53.1°，再把它们接合起来而形成，如图6-38所示。图中A部分的原子以小空心圆表示，B部分的原子以小实心圆表示，重合位以大空心圆表示。因为晶体B与晶体A只在界面区域相连，所以实际存在的重合位是界面上的大空心圆。由图可看到，晶界对于晶体A和B而言都是一系列的台阶，台阶之间的距离，即重合点间的距离p = ，这一距离叫做结构周期，结构周期p也等于重位点阵晶胞的一个边长。如前所述，一个具有相同 (如等于5)的重位点阵也可由绕[100]轴扭转36.9°而得到，这相当于x=3，y=1，其倾转晶界如图6-39所示。要注意到，此时结构周期p等于重位点阵晶胞的对角线长。与图6-38比较，得出36.9°和53.1°旋转产生的倾转晶界具有不同的结构周期。

要指出的是，如果晶界是由两晶粒间重位点阵(CSL)的密排或较密排面构成，则两晶粒在晶界处的原子会有较好的匹配，晶界能就较低，并且晶界长程应变场的作用范围和晶界结构周期相近。这样，晶界的弹性应变能将随Σ减小或随结构周期缩短而降低。一个具有相对低Σ的界面，往往具有低的界面能和高的迁移性。

还应指出，重位点阵模型只适用于相同点阵类型的两块晶体之间的界面，并且也只有当绕某轴转动某些特定的角度，才能出现重位点阵，这是其模型应用的限制。

（2）O点阵模型

任取两个点阵Ll和L2，互相贯穿形成复合贯穿点阵。在考察复合贯穿点阵每个阵点位置的周围环境时，发现有些阵点位置有规律且周期性地分布在整个贯穿点阵中，这些环境相同的等效点就称为O点。由这些O点组成的点阵，称为O点阵。实际上，O点阵概念是CSL概念的一般化推广。CSL着眼于复合贯穿后在哪些阵点上相重合，而O点阵则着眼于点阵上哪些位置有相同的原子配位环境。图6-40是两个简单立方点阵形成的O点阵，实线所连正方网格为O点阵。

O点阵概念的优点是O点的集合是作连续的运动，而CSL则是突然地出现或消失，甚至当重位点阵不存在时，O点阵仍存在。O点阵应用的一个特点是，它适用于两个不完全一样的晶体界面。

（3）DSC点阵

DSC（Displacement Shift Complete Lattice）点阵称为完整花样移动点阵。它是将2个贯穿点阵所有实际阵点连接起来的一种最大的公共点阵。 DSC点阵除了包括两点阵的实际阵点外，还包括不属于两个实际点阵的“虚点阵”的阵点。图6-41中(b)是在(a)的基础上建立起来的DSC点阵，它的基矢是图中表示的b1和b2。从图中看出，重位点阵是DSC点阵的超点阵。DSC模型的一个重要性质是，当两个实际晶体点阵相对平移任何1个DSC基矢时，界面上原子排列构形不改变，只是构形的原点移动了。另外，在立方系晶体点阵中，DSC点阵与CSL互为倒易，即界面上原子错配程度增大时，相应CSL尺寸增大，而DSC点阵尺寸减小。

界面能是与界面阵点的几何构形有关。界面的几何构形往往倾向于形成具有低能量的排列形式，低能界面应该具有短的周期性，例如CSL(或O点阵)界面关于密排或较密排面的要求。如果偏离了这种低能排列形式，界面能就会提高。DSC点阵正是考虑在界面引进“次位错”以保持具有低能界面的几何构形，这些次位错的柏氏矢量就是DSC点阵矢量。例如立方点阵[001]向转动53.1°的对称重位倾转晶界（图6-42a），晶界结构是…222…，如果两晶粒取向差偏离3.1°，即取向差为50.0°时，为了使界面保持低能的构形，在界面上会引入次位错，这时晶界结构变为…22322…，其中两个次位错出现在长阶处，次位错的柏氏矢量是DSC点阵矢量(图6-42b)。由此看出，DSC点阵对讨论晶界台阶和晶界位错比较方便。

（4）结构单元模型

结构单元模型概念的提出是基于任一长周期界面可分解为短周期界面的应变单元。采用原子模拟方法研究对称和非对称的倾转晶界已得出：在一定取向差范围内的所有界面都可由两种结构单元重复组成。

晶界上的周期性越长，界面两侧匹配程度将越差，同时晶界能越高。因而任何长周期结构的晶界会倾向于分解成具有一定应变的短周期结构。图6-43示出了面心立方3种以[001]为旋转轴的对称倾转晶界中的结构单元，图(a)是两个面心立方点阵贯穿产生Σ=5的几何结构，空圆圈及三角形分别表示两个贯穿的点阵，虚线是(210)面。图中由黑线勾划的梯形经松弛畸变后变为如图(b)的四边形的结构单元，每个单元以B表示，显然图(b)的晶界面是(210)面，晶界结构为…BBBB…。图(c)是Σ=17的对称倾转晶界的松弛结构，平行于(530)面的界面由两种松弛畸变结构单元组成，一种结构单元和图(b)的一样(标以B)，另一种结构单元是完整晶体(Σ=1)平行于(110)面的结构单元，如图(e)标记为A的结构单元（图中虚线平行于(110)面）。B结构单元两侧晶粒的取向是Σ=5的对称倾转的取向，而结构单元A两侧的取向差为0，综合两种结构单元的结晶结构为…ABBABB…，这样排列的结构单元构成 =17的对称倾转晶界。图(d)是Σ=37的对称倾转晶界的松弛结构，平行于(750)的晶界也由A和B两种松弛畸变的结构单元构成，晶界结构为…AABABAABAB…。对于非对称倾转晶界和扭转晶界，同样可用结构单元描述，不过扭转晶界情况要复杂得多。结构单元模型的局限性是它仅对低指数轴(例如[100]、[110]、[111]， [112])的纯倾转及扭转晶界描述较有效。从理论上讲，结构单元模型原则上也可以用于高指数旋转轴的晶界，但实际上它需要的结构单元类型数目很多，以致失去结构描写的意义。

（5）多面体单元模型

多面体单元模型是在对称及非对称倾转晶界上寻找多面体群体的堆积，例如，面心立方结构以[110]为轴的倾转晶界中，多面体是四面体、八面体、三棱柱体、加顶三棱柱体、阿基米德方形反棱柱体、加顶阿基米德方形反棱柱体和五角双棱柱体等7种，且晶界上多面体是密排堆积的。在以[100]、[111]及[112]为轴的对称倾转晶界中，也存在这些多面体，但并不是密堆积。图6-44是以面心立方结构的[100]为轴转动36.9°( =5)的对称倾转晶界上三棱柱体的堆积。

由于晶界连接两个晶体要求的相容性并不能完全由多面体堆积来满足，因此晶界结构不可能完全由多面体组成，即使对低能晶界，仍会存在与多面体结构不同的原子排列。这些位置可能是杂质原子易偏析的位置，于是也可以应用这一模型对晶界偏析作定量分析，另外，多面体堆积位置可看作是晶界匹配良好的区域，而其它是晶界匹配不好的区域。

应该指出，以上所介绍的几种晶界的结构模型对解释一些特殊大角度晶界是有效的，但应用到那些与特殊大角度晶界偏离较大或任意大角度晶界时仍会有一定的局限性。另外，本节所述的模型都忽略了界面的带电性，而实际上晶界的带电是重要的结构影响因素。