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词条 解方程公式法
释义

反比例函数图象

一般地,如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数。 因为y=k/x是一个分式,所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=kx-¹。

反比例函数表达式

y=k/x 其中X是自变量,Y是X的函数

y=k/x=k·1/x

xy=k

y=k·x^-1

y=k\\x(k为常数(k≠0),x不等于0)

反比例函数的自变量的取值范围

① k ≠ 0; ②一般情况下 , 自变量 x 的取值范围是 x ≠ 0 的任意实数 ; ③函数 y 的取值范围也是任意非零实数 .

反比例函数图象

反比例函数的图像属于以原点对称的双曲线,

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会相交(K≠0)。

反比例函数性质

1.当k>0时,图象分别位于第一、三象限,同一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,图象分别位于二、四象限,同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.k>0时,函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时,函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为x≠0;值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中,x不能为0,y也不能为0,所以反比例函数的图象不可能与x轴相交,也不可能与y轴相交。

4. 在一个反比例函数图象上任取两点P,Q,过点P,Q分别作x轴,y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1,S2则S1=S2=|K|

5. 反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴y=x y=-x(即第一三,二四象限角平分线),对称中心是坐标原点。

反比例函数性质

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点(m、n同号),那么A B两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n,要使它们有公共交点,则b&sup2;+4k·m≥(不小于)0。

8.反比例函数y=k/x的渐近线:x轴与y轴。

9.反比例函数关于正比例函数y=x,y=-x轴对称,并且关于原点中心对称.

10.反比例上一点m向x、y分别做垂线,交于q、w,则矩形mwqo(o为原点)的面积为|k|

11.k值相等的反比例函数重合,k值不相等的反比例函数永不相交。

12.|k|越大,反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

反比例函数的应用举例

【例1】反比例函数 的图象上有一点P(m, n)其坐标是关于t的一元二次方程t2-3t+k=0的两根,且P到原点的距离为根号13,求该反比例函数的解析式.

分析:

要求反比例函数解析式,就是要求出k,为此我们就需要列出一个关于k的方程.

解:∵ m, n是关于t的方程t2-3t+k=0的两根

∴ m+n=3,mn=k, (根据韦达定理--根于系数的关系)

又 PO=根号13,

∴ m2+n2=13,

∴(m+n)2-2mn=13,

∴ 9-2k=13.

∴ k=-2

当 k=-2时,△=9+8>0,

∴ k=-2符合条件,

【例2】直线 与位于第二象限的双曲线 相交于A、A1两点,过其中一点A向x、y轴作垂线,垂足分别为B、C,矩形ABOC的面积为6,求:

(1)直线与双曲线的解析式;

(2)点A、A1的坐标.

分析:矩形ABOC的边AB和AC分别是A点到x轴和y轴的垂线段,

设A点坐标为(m,n),则AB=|n|, AC=|m|,

根据矩形的面积公式知|m·n|=6.

反比例函数的画法

1)列表

x ... -3 -2 -1 1 2 3 4 ...

y ... -4 -6 -12 12 6 4 3 ... 2)在平面直角坐标系中标出点

3)用平滑的曲线描出点

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