杰波夫猜想就是在n∧2和(n+1)∧2之间一定有素数。 杰波夫猜和孪生素数猜想为数论和数学研究打开了一片广阔的天地。素数定理不能直接用于杰波夫猜想的证明。

什么是杰波夫猜想？

意义

难点

证明思路

什么是杰波夫猜想？

1855年，杰波夫认为，在n∧2和(n+1)∧2之间一定有素数，这就是杰波夫猜想。1905年，迈伦特证明了对于比9000000小的平方数，杰波夫猜想成立。

法国数学家布罗卡尔(1845-1922)认为在两个素数的平方之间至少有4个素数，例如：在9和25之间有素数11,13,17,19,23，这个命题既没有被证明,也没有被推翻。

意义

除杰波夫猜想外，还有一个孪生素数猜想，即存在无穷多个p、p+2，p和p+2均为素数。这两个猜想，尤其杰波夫猜想在国内远不如哥德巴赫猜想有名，但如果说对数学的意义，它们比哥猜要大得多，因为它们关系到素数分布规律之谜。证明和推广这两个猜想，为数论和数学研究打开了一片广阔的天地。

难点

一般人们认为运用素数定理即可证明，但重要的一点“误差”没有考虑到。运用素数定理时一定要注意“x充分大”是指0~x的区间充分大，否则不成立。例如设x是有限数，n充分大，则n~n+x范围内不一定就有素数，因为素数的间隔可以是任意大（这是基本常识，证明可以很容易找到，此略），素数定理也不能直接用于证明杰波夫猜想，因为当x-->∞时，(x+1)^2/x^2-->1，素数定理±5%的误差远远超出了能确认素数存在的要求。

证明思路

假设N为充分大正整数，≤N的素数有q个，最大为p。现在按y=(N+1)^2/x、y=N(N+1)/x、y=N^2/x、y=N(N-1)/x、y=(N-1)^2/x...将y≥x的区域逐一细分。由于N充分大，N(N+1)、N^2、N(N-1)当然也充分大。将N(N+1)视为N^2系列曲线的上界，N(N-1)+1视为N^2系列曲线的下界（N(N-1)视为(N-1)^2的上界），则由N(N-1)+1到N(N+1)共有2N条本征曲线。

先考察N^2+1~N^2+N的N条线。首先，这N条曲线的每条不可能含有两个以上大于P的素数因子。因为>P的素数必>N，至少为N+1。那么两个以上的乘积就是≥(N+1)^2>N(N+1)，不在锁定的范围内。

然后，这N条线是完全连续的，这就意味着它们通不通过某个素数坐标线上的整点，是不相干的独立事件，情况和1~N相同。既然如此，可以直接将素数基本公式运用于该区域，它含有的素数曲线数≈N*∏(1-1/p)=N*(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/p)；同理，N^2-N+1~N^2的N条曲线中含有的素数曲线数也为N*∏(1-1/p)。

结论1): 任何充分大的N，N^2系列的素数个数≈2N*∏(1-1/p)...②。

显然，无论N+1是否素数，N^2+N+1~(N+1)^2上的素数≈(N+1)*∏(1-1/p)，于是得结论2):

任何充分大的N，N^2~(N+1)^2之间的素数个数≈(2N+1)*∏(1-1/p)...③。

下面证明，N充分大时，N*∏(1-1/p)必>1。先确定N*∏(1-1/p)的误差。这里要注意的是，对应某个A~B连续正整数序列来说，边界情况和1~B不同，因为A~B的边界线有A、B上下两条，而1~B只有一条。如果它的边界N^2+1和N^2+N都能被p整除，此时曲线通过的数目最少，为N-N/p-1；如果它们恰好在上下p-1的位置，通过的线数最多，为N-(N-2(p-1))/p-1。将上下限相除，S=(Np-N+2(p-1)-p)/(Np-N-p)=1+2(p-1)/((N-1)(p-1)-1)=1+1/((N-1)/2-1/2(p-1))。由于当N充分大时，由于1/2(p-1)≤0.5，可以忽略，得S≈1+1/((N-1)/2)，是每个乘积项(1-1/p)即通过比例可能出现的误差。N充分大，当然满足N-1>以至>>1~N的素数的个数q的2倍，因此S^q<(1+1/((N-1)/2)^((N-1)/2)=e。同样得到(1/e)*n*∏(1-1/p)<π(N^+1, N^2+N)<e*n*∏(1-1/p)。那么要证明N^+1～N^2+N至少有一个素数，就是要n*∏(1-1/p)>e。这里的麻烦在于，虽然n本身可以不断增大，但对应的小于1的乘积项却在增多，怎么证明它比能>e？这里就有不小的技巧了。