阶跃函数（step function）定义

阶跃函数的定义及其在零点的取值

阶跃函数（step function）定义

在数学中，如果实数域上的某个函数可以用半开区间上的指示函数的有限次线性组合来表示，那么这个函数就是阶跃函数。

如果把 换成 ，所得的单位阶跃函数为 ，在 为负（即 ）时，函数值为零，在 为正（即 ）时，函数值为1，即

这一阶跃函数是在 时而表示在 时发生阶跃，显然存在延迟，故，称为延迟单位阶跃函数。其波形如下。

显然，阶跃函数具有电路中“开关”的作用，若在 时开关闭合使电压为A的电压源接入电路，有了阶跃函数，可给A乘以 作为电压源的电压，从而省去语言表述并简化了电路图。如下图所示。

阶跃响应

阶跃函数激励下动态电路的零状态响应称为阶跃响应。这里所说的零状态是指电容、电感的初始状态为零。

阶跃函数的定义及其在零点的取值

阶跃函数是一种特殊的连续时间函数,它在信号与系统分析以及电路分析中具有重要作用.在教科书中给出的若干种互有区别的阶跃

函数定义,给教学和学生的理解造成了混乱.讨论了阶跃函数的定义,通过实例说明了阶跃函数在在t= 0点的值应根据实际情况给出,分别可

取0,1 2,1.可为讲授阶跃函数的定义提供一定的帮助.

关键词:阶跃函数;电路分析;信号

中图分类号:TM13 文献标识码:A 文章编号: 1008- 0686(2005)02- 0038- 03

D iscussionofStepFunctionandItsValueatTim eZero

T IANShe-p ing,CHENHong-l iang,L IP ing

(S choolofE lectrica landE lectron icE ng. ,S hang ha iJ iaoT ongU n iv. ,S hang ha i200030,C h ina)

Abstract:Stepfunct ionisasp ecia lcon t inuou s2t im efunct ionw h ichp lay sanim po rtan tro leinsigna land

sy stemana ly sisandcircu itana ly sis.Severa ld ifferen tdefin it ion sofstepfunct iona reg ivenintex tbook s

anditm akesconfu siontotheteach ingofthefunct ion.D efin it ionofstepfunct ionisd iscu ssedinth is

p ap er.Exam p lesa reg iventoexp la inhowtodefinetheva lueofstepfunct iona tt= 0.Itconcludestha tthe

va lueofstepfunct iona tt= 0shou ldbeg iventh roughp ract ica lcircu itana ly sis,a s0, 1 2o r1.Itishelp fu l

fo rtheteach ingofstepfunct ion.

Keywords:stepfunct ion;circu itana ly sis;signa l

1 问题的提出

阶跃函数是一种特殊的连续时间函数,它在电

路分析中,阶跃函数是研究动态电路阶跃响应的基

础.研究阶跃响应前必先给出阶跃函数的定义.在

教科书中给出的若干种互有区别的阶跃函数定义,

给学生的理解造成了混乱.各类文献对阶跃函数的

定义大同小异,如文献[ 1 ]给出的定义为

E(t)=

0 t 0

(1)

其说明为"E(t)是奇异函数,t= 0时无定义,可取0

或1."从定义知,在E(t)= 0点的取值是可变的.又

如文献[ 2 ]给出两种定义,其一与式(1)同,其二为

E(t)=

0

1 2

1

t 0

(2)

与式(1)不同,它明确给出了E(t)在t= 0点的大小.

此外,关于阶跃函数的定义,还有文献[ 3 ]的

E(t)=

1 tE0

0 t 0

0 tF0

(4)

综观上述对阶跃函数的定义,其主要区别在于

如何对E(t)在t= 0点取值.那末不禁要问:E(t)在t

= 0点究竟应该如何取值 上述四种定义方式是否

合理 笔者根据教学实践得出的结论为:对阶跃函数

第27卷 第2期

2005年4月

电气电子教学学报

JOU RNALO FEEE

V o l. 27 N o. 2

A p r. 2005

收稿日期: 2004- 12- 14;修回日期: 2005- 02- 15

第一作者:田社平(1967-),男,湖北仙桃人,博士,副教授,主要从事电路理论和动态检测技术的教学和科研工作.

的定义应该取式(1),E(t)在t= 0点的值应根据实际

情况给出,一般可取0, 1 2或1.这可用实例说明.

1 实例说明

【例1】 阶跃函数的重要性质之一是具有切除

图1 一个R C充电电路

作用,可以用来

规定任意波形的

起始点[ 4 ].如图

1,表示电压为

US的理想电压

源从t= 0时刻

作用于RC电

路,电容的初始电压为u0.试求uC(t),tE0.

uC(t)为电路的全响应.不难用三要素法求得

uC(t)=US+(u0-US)e-

t

RC tE0(5)

也可用阶跃函数表示响应的时间段[ 5 ],此时式(5)为

uC(t)= [US+(u0-US)e-

t

RC]E(t)(6)

式(5)和式(6)互为等效的表示方法在电路教科书均

可见到[ 1, 4, 6 ].但须指出,如果从"用阶跃函数来表示

响应的时间段"的意义上看,两式是一致的;如从严

格的数学意义上讲,是有区别的,式(5)的为tE0,

而式(6)的定义域为整个时间轴.更重要的是,由于

E(t)在t= 0点取值的不确定性,使得它们在t= 0点

的取值不一致!比较在t= 0处的取值,可以得出

uC(0)=u0=u0E(0)(7)

可见,此时阶跃函数在t= 0点必须取值1,即阶

跃函数的定义符合式(3).

【例2】 电路的阶跃响应.电路如图1所示,电

容的初始电压为u0= 0.试求uC(t).

阶跃响应是指电路在阶跃输入下的零状态响

应.电路在USE(t)作用下的零状态响应为

uC(t)=US(1 - e-

t

RC) tE0(8)

由阶跃响应的定义,uC(t)也可以表示为

uC(t)=US(1 - e-

t

RC)E(t)(9)

与例1不同,不管E(t)在t= 0点取何值,式(8)

和式(9)总是完全等效的,此时,阶跃函数的定义符

合式(1)～式(4).

【例3】 设想有一个未充电的理想电容C,突

然与理想电压源U接通,电容电压为

u(t)=UE(t)(10)

通过电容的电流为

i(t)=C

du(t)

dt

=CUD(t)(11)

显然,电容的储能最终应为CU2 2.该储能应满足

∫∞

-∞

u(t)i(t)dt=∫∞

-∞

UE(t)CUD(t)dt=

CU2E(0)=

1

2

CU2(12)

可见,此时阶跃函数在t= 0点必须取值1 2.此

时,阶跃函数的定义符合式(2).

【例4】 复频域(s域)分析方法是分析动态电

路的一种行之有效的方法,可以在s域认识阶跃函

数.如图2(a)所示,已知uS(t)= [ 1-e-tE(t)]V,试

求i(t),tE0.

(a)时域模型 (b)S域模型

图2 R L电路实例

当tE0时,可作出如图2(b)的s域模型,其中

US(s)=

1

s

-

1

s+ 1

=

1

s(s+ 1)

.注意,由于uS(t)中的

1V部分在t= 0前即作用于电路,因此,电路在t= 0

时,电感电流不等于零.显然i(0-)= 1A.从图2

(b),运用叠加原理可知

I(s)=

1

s(s+ 1)2-

1

s(s+ 1)

= -

1

(s+ 1)2

求上式的反拉氏变换,可得

i(t)= -te-tA tE0(13)

如果假设在t= -∞时刻,电感电流的初始值

为1A,则可以在整个时间轴上表示i(t),即

i(t)= [ 1 -(1 +te-tE(t)]A(14)

由于在t= 0时电流有跃变,此时阶跃函数的定

义可取式(1)或式(3).取式(3)时,式(13)和式(14)

在tE0时可以完全统一起来;而取式(1),则由式

(14)可以清楚地得到i(0-)= 1A和i(0+)= 0A.

2 结语

单位阶跃函数是一人为定义的数学函数,在电

路分析中引入该函数可以极大地简化电路的分析,

因此在电路理论课程中是必须讲授的内容,本文通

过实例说明了阶跃函数在t= 0点的值应根据实际

情况给出,这对理解阶跃函数的意义具有一定的帮

助。

93第27卷第2期 田社平等:阶跃函数的定义及其在零点的取值

中相同(a1不需要了),但系数a4,a3,a2要作一些调

整,即当a5= 1时,a4=a3=a2= 1;当a5=0,a4= 1

时,a3=a2= 1;当a5=a4= 0,a3= 1时,a2= 1;当a5=

a4=a3= 0时,a2= 1(模3)或0(模2).

从上述例子可以看到,若要使多模移位计数器

的模上限扩展,只要增加移存器的级数就可以了.如

n= 1～8,就可得到模2～16多模移位计数器;如n

= 3～10,就可得到模4～20多模移位计数器;…….

5 结论

1)一种新型的移位计数器不仅可以提供与目前

常用计数器完全相同的功能,也可以构成与目前常

用计数器功能有所不同的双模,多模移位计数器.值

得注意的是,本文所设计的双模移位计数器可以大

大增长模转换的允许时间,这不仅在吞脉冲技术中

可以提高前置分频的工作速率,而且特别适宜在有

较大延迟的反馈控制系统中使用.

2)在给定模值p=n+k的情况下,由于n和k

还可以任选(通常只需满足n≥k,但也有需满足n≥

2(k- 1)的),故在目前已知的四批反馈函数[ 3, 4 ]中可

以提供不止一个的可用反馈函数.当然,它们的自启

动性可能会有差别,且选用不同的k时,还可得到不

同的输出占空比k (n+k).

3)由于n和k可为任意正整数,故任意模值的

移位计数器均适用同样的反馈函数的普遍表达式.

也就是说,从原理上讲,移位计数器模值的上限可以

任意扩展.

必须指出的是,当模值p较大时,相应的级数n

也较大,为了减少级数n,这时可采用级联式的双模

或多模移位计数器,对此将另文讨论之.